Giải SGK Toán 10 Bài 3 Cánh diều: Dấu của tam thức bậc hai

Kiến thức cần nhớ của Bài 3

Tam thức bậc hai (ẩn x) là biểu thức dạng f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0. Nghiệm của f(x) là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0. Biệt thức Δ = b² − 4ac (hoặc Δ’ = (b’)² − ac khi b = 2b’).

Về mặt hình học, dấu của f(x) cho biết phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía trên (f > 0) hay phía dưới (f < 0) trục hoành. Vì vậy em chỉ cần nhìn vị trí parabol so với trục Ox là nhớ được định lí.

Trường hợp	Nghiệm	Dấu của f(x)
Δ < 0	Vô nghiệm	Cùng dấu a với mọi x ∈ ℝ
Δ = 0	Nghiệm kép x0 = −b/(2a)	Cùng dấu a với mọi x ≠ x0; f(x0) = 0
Δ > 0	Hai nghiệm x1 < x2	Cùng dấu a trên (−∞; x1) và (x2; +∞); trái dấu a trên (x1; x2)

Mẹo nhớ: khi có hai nghiệm, em nhớ câu “trong trái, ngoài cùng” — ở trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, ở ngoài thì cùng dấu với a.

Bảng xét dấu khi Δ > 0

x	−∞	x1	x2	+∞
f(x)	cùng dấu a	0	trái dấu a, rồi 0	cùng dấu a

Cụ thể: bên trái x₁ cùng dấu a, trong (x₁; x₂) trái dấu a, tại x₁ và x₂ bằng 0, bên phải x₂ lại cùng dấu a.

Ba ví dụ mẫu (tự đặt)

1. f(x) = −x² + 5x − 6: Δ = 25 − 24 = 1 > 0, nghiệm x = 2 và x = 3, a = −1 < 0. Vậy f(x) > 0 trên (2; 3) và f(x) < 0 trên (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
2. f(x) = 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)²: Δ = 144 − 144 = 0, a = 4 > 0. Vậy f(x) > 0 với mọi x ≠ 3/2 và f(3/2) = 0.
3. f(x) = x² − x + 3: Δ = 1 − 12 = −11 < 0, a = 1 > 0. Vậy f(x) > 0 với mọi x.

Giải câu hỏi khởi động trang 44

Lợi nhuận y = −200x² + 92 000x − 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm bán ra. Ta cần xét dấu f(x) = −200x² + 92 000x − 8 400 000.

Ta có a = −200 < 0, b = 92 000 nên b’ = 46 000, c = −8 400 000. Chú ý hệ số tự do là số âm (−8 400 000), nên:

Δ’ = 46 000² − (−200)(−8 400 000) = 2 116 000 000 − 1 680 000 000 = 436 000 000 > 0.

Vì √436 000 000 = 2000√109 nên hai nghiệm là x = (−46 000 ± 2000√109)/(−200) = 230 ∓ 10√109, tức x₁ = 230 − 10√109 ≈ 125,6 và x₂ = 230 + 10√109 ≈ 334,4.

• f(x) > 0 (có lãi) khi x ∈ (230 − 10√109; 230 + 10√109).
• f(x) < 0 (bị lỗ) khi x ∈ (−∞; 230 − 10√109) ∪ (230 + 10√109; +∞).

Vì x là số nguyên dương nên doanh nghiệp có lãi khi bán từ 126 đến 334 sản phẩm. Xem thêm lời giải chi tiết ở bài Câu hỏi khởi động: Câu hỏi khởi động trang 44.

Giải Hoạt động 1 trang 44 (trường hợp Δ < 0)

• a) Đồ thị của f(x) = x² − 2x + 2 nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên f(x) > 0 với mọi x. Kiểm tra: Δ = 4 − 8 = −4 < 0 và a = 1 > 0.
• b) Đồ thị của f(x) = −x² + 4x − 5 nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với mọi x. Kiểm tra: Δ = 16 − 20 = −4 < 0 và a = −1 < 0.
• c) Khi Δ < 0, tam thức f(x) = ax² + bx + c luôn cùng dấu với hệ số a với mọi số thực x.

Lời giải đầy đủ: Hoạt động 1 trang 44.

Giải Hoạt động 2 trang 45 (trường hợp Δ = 0)

• a) f(x) = x² + 2x + 1 = (x + 1)². Đồ thị tiếp xúc trục hoành tại x = −1, nên f(x) ≥ 0 với mọi x, và f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ \ {−1}.
• b) f(x) = −x² + 4x − 4 = −(x − 2)². Đồ thị tiếp xúc trục hoành tại x = 2, nên f(x) ≤ 0 với mọi x, và f(x) < 0 với mọi x ≠ 2.
• c) Khi Δ = 0, f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ −b/(2a), còn tại x = −b/(2a) thì f(x) = 0.

Lỗi hay gặp: ở câu b, điểm loại trừ là x = 2 (nghiệm của (x − 2)²), không phải x = −2. Em hãy luôn giải f(x) = 0 để tìm nghiệm kép rồi mới viết tập loại trừ. Xem: Hoạt động 2 trang 45.

Giải Hoạt động 3 trang 45 (trường hợp Δ > 0)

a) f(x) = x² + 3x + 2 có hai nghiệm x = −2 và x = −1, a = 1 > 0:

• Trên (−∞; −2): đồ thị nằm trên trục hoành, f(x) > 0.
• Trên (−2; −1): đồ thị nằm dưới trục hoành, f(x) < 0.
• Trên (−1; +∞): đồ thị nằm trên trục hoành, f(x) > 0.

b) f(x) = −x² + 4x − 3 có hai nghiệm x = 1 và x = 3, a = −1 < 0:

• Trên (−∞; 1): f(x) < 0.
• Trên (1; 3): f(x) > 0.
• Trên (3; +∞): f(x) < 0.

c) Khi Δ > 0, f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài đoạn [x₁; x₂] và trái dấu với a khi x ∈ (x₁; x₂). Xem: Hoạt động 3 trang 45.

Luyện tập – vận dụng trang 46

Hai bài luyện tập yêu cầu xét dấu các tam thức và lập bảng xét dấu. Các bước làm giống nhau:

1. Xác định a, b, c rồi tính Δ (hoặc Δ’).
2. Nếu Δ ≥ 0, tìm nghiệm.
3. Áp dụng định lí, kết luận theo từng khoảng; có thể trình bày bằng bảng xét dấu.

Ví dụ minh hoạ (số liệu tự đặt): xét dấu f(x) = 2x² − 7x + 3. Có Δ = 49 − 24 = 25 > 0, nghiệm x = 1/2 và x = 3, a = 2 > 0. Vậy f(x) > 0 trên (−∞; 1/2) ∪ (3; +∞), f(x) < 0 trên (1/2; 3).

Lời giải đúng đề SGK: Luyện tập – vận dụng 1 và Luyện tập – vận dụng 2.

Hướng dẫn giải bài tập trang 48

Bài 1: Phát biểu đúng hay sai

Dạng này kiểm tra định lí. Khi gặp phát biểu, em thử phản ví dụ bằng một tam thức đơn giản, ví dụ x² + 1 (Δ < 0, luôn dương), (x − 1)² (Δ = 0, bằng 0 tại x = 1) hay x² − 1 (đổi dấu hai lần). Chú ý các từ “với mọi x” và “khi Δ < 0, Δ = 0”. Xem: Bài 1 trang 48.

Bài 2: Lập bảng xét dấu từ đồ thị

Nghiệm của f(x) là hoành độ giao điểm của parabol với trục Ox (nếu có). Phần parabol nằm trên Ox ứng với f > 0, nằm dưới ứng với f < 0. Đọc nghiệm từ hình rồi điền vào bảng xét dấu. Xem: Bài 2 trang 48.

Bài 3: Xét dấu các tam thức

Làm đúng ba bước ở phần luyện tập. Với tam thức có Δ < 0 hoặc Δ = 0, chỉ cần nhìn dấu của a và nghiệm kép. Xem: Bài 3 trang 48.

Bài 4 và Bài 5: Bài toán thực tế

Cả hai bài đều theo mạch: đặt ẩn x, lập biểu thức lợi nhuận hoặc doanh thu dạng tam thức bậc hai, rồi giải điều kiện “không lỗ” hay “có lãi” bằng cách xét dấu. Xem lời giải đúng đề: Bài 4 và Bài 5.

Để em hình dung, đây là một đề cùng dạng với số liệu tự đặt: Một công ty thu 200 000 đồng/người với 40 khách đầu. Nếu có hơn 40 khách thì cứ thêm một người, giá giảm 2 000 đồng/người cho tất cả khách. Chi phí chuyến đi là 9 600 000 đồng. Hỏi số khách để không lỗ?

• Với x > 40 khách, giá mỗi người là 200 000 − 2 000(x − 40) = 280 000 − 2 000x.
• Doanh thu là x(280 000 − 2 000x). Không lỗ khi 280 000x − 2 000x² ≥ 9 600 000, tức x² − 140x + 4 800 ≤ 0.
• Δ’ = 4 900 − 4 800 = 100, nghiệm x = 60 và x = 80. Vì a > 0 nên f(x) ≤ 0 khi 60 ≤ x ≤ 80.

Kết luận: cần từ 60 đến 80 khách. Kiểm tra: với 40 khách chỉ thu 8 000 000 đồng, thấp hơn 9 600 000 nên lỗ, phù hợp kết quả.

Lỗi sai thường gặp

• Quên đổi chiều bất đẳng thức khi a < 0: luôn xác định dấu của a trước.
• Nhầm “ngoài” và “trong” hai nghiệm khi a âm. Hãy vẽ nhanh parabol quay lên hay quay xuống.
• Tính Δ’ sai khi b lẻ hoặc c âm; nên viết rõ a, b, c kèm dấu.
• Với Δ = 0, quên loại điểm x = −b/(2a) khi kết luận dấu “>” hoặc “<”.

Bài tập tự luyện có đáp án

1. Xét dấu f(x) = −3x² + 6x − 4.
   Đáp án: Δ’ = 9 − 12 = −3 < 0 và a = −3 < 0, nên f(x) < 0 với mọi x.
2. Xét dấu g(x) = x² − 6x + 5.
   Đáp án: Δ’ = 9 − 5 = 4, nghiệm x = 1 và x = 5, a > 0. Vậy g(x) > 0 trên (−∞; 1) ∪ (5; +∞), g(x) < 0 trên (1; 5).
3. Tìm m để h(x) = x² + 2mx + m + 2 > 0 với mọi x.
   Đáp án: a = 1 > 0 nên cần Δ’ < 0. Δ’ = m² − (m + 2) = (m − 2)(m + 1) < 0 ⇔ −1 < m < 2.

Tài liệu cùng bài và các bài liền kề

• Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai
• 20 câu trắc nghiệm Dấu của tam thức bậc hai
• Sách bài tập Toán 10 Bài 3
• Bài 2: Hàm số bậc hai
• Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn
• Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
• Bài tập cuối chương 3
• Giải SGK Toán 10 – Cánh diều

Câu hỏi thường gặp

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào yếu tố nào?

Phụ thuộc vào dấu của hệ số a và biệt thức Δ = b² − 4ac. Δ cho biết parabol cắt, tiếp xúc hay không cắt trục hoành; a cho biết parabol quay lên hay quay xuống.

Khi Δ = 0 thì tam thức bậc hai mang dấu gì?

f(x) cùng dấu với a với mọi x khác nghiệm kép −b/(2a), và bằng 0 tại chính nghiệm kép đó. Vì vậy f(x) có thể viết là a(x − x₀)².

Làm sao nhớ nhanh quy tắc dấu khi có hai nghiệm?

Dùng câu “trong trái, ngoài cùng”: trong khoảng giữa hai nghiệm thì trái dấu với a, ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a.

Tam thức luôn dương với mọi x khi nào?

Khi a > 0 và Δ < 0. Tương tự, tam thức luôn âm với mọi x khi a < 0 và Δ < 0.

Bài học liên quan

• Công thức cần nhớ về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy lớp 10
• Lý thuyết giải bất phương trình bậc hai một ẩn – Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Phương pháp quy nạp toán học Toán 10 Chân trời sáng tạo: lý thuyết, bài giải
• Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo: tóm tắt đủ 10 chương
• Giải Toán 10 Bài 8 Kết nối tri thức: Tổng và hiệu của hai vectơ
• Lý thuyết Toán 10 Cánh diều: tóm tắt kiến thức trọng tâm 7 chương