Giải SGK Toán 10 Bài 16 (Kết nối tri thức): Hàm số bậc hai

Tóm tắt kiến thức cần nhớ của Bài 16

• Định nghĩa: y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là hằng số và a ≠ 0. Tập xác định thường là ℝ.
• Đồ thị: là một parabol. Đỉnh I(–b/(2a); –Δ/(4a)) với Δ = b² – 4ac. Trục đối xứng là đường thẳng x = –b/(2a). Parabol cắt trục tung tại (0; c).
• Chiều của parabol: a > 0 thì bề lõm hướng lên; a < 0 thì bề lõm hướng xuống.
• Sự biến thiên: với a > 0, hàm số nghịch biến trên (–∞; –b/2a), đồng biến trên (–b/2a; +∞). Với a < 0 thì ngược lại.

Muốn ôn kỹ hơn, em xem thêm phần lý thuyết tại Lý thuyết Hàm số bậc hai.

Các bước vẽ parabol y = ax² + bx + c

1. Xác định chiều bề lõm theo dấu của a.
2. Tìm đỉnh I và trục đối xứng x = –b/2a.
3. Tìm giao điểm với Oy là (0; c) và giao với Ox (nếu Δ ≥ 0) bằng cách giải ax² + bx + c = 0.
4. Lấy thêm điểm đối xứng qua trục để đồ thị chính xác, rồi nối thành đường cong trơn.

Lỗi hay gặp: quên đổi dấu khi tính hoành độ đỉnh (x = –b/2a chứ không phải b/2a) và vẽ parabol thành hai nhánh không đối xứng.

A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu và Hoạt động 1 – bài toán rào vườn

Tấm lưới dài 20 m, rào ba mặt áp tường. Gọi x (m) là khoảng cách từ mỗi cọc đến tường, cạnh còn lại PQ = 20 – 2x. Vì PQ > 0 nên 0 < x < 10. Diện tích mảnh đất:

S(x) = x(20 – 2x) = –2x² + 20x.

Biến đổi: S(x) = –2(x – 5)² + 50 ≤ 50, dấu bằng khi x = 5. Vậy cắm cọc cách tường 5 m (khi đó PQ = 10 m) thì diện tích lớn nhất là 50 m². Xem lời giải gốc ở Mở đầu trang 11 và Hoạt động 1.

Câu hỏi trang 12

Đáp án C (y = –3x² + 1, có a = –3, b = 0, c = 1).

• A sai: có x⁴, bậc cao nhất là 4.
• B sai: x nằm dưới mẫu nên là hàm phân thức, không phải đa thức bậc hai.
• D sai: có hạng tử chứa x ở mẫu. Chỉ khi đặt t = 1/x mới thành bậc hai theo t, nhưng theo biến x thì không phải.

Mẹo: nhìn vào “bậc” của đa thức biểu thị y theo x, có đúng một hạng tử x² là bậc cao nhất thì mới là hàm bậc hai. Xem thêm Câu hỏi trang 12.

Luyện tập 1 trang 12

a) y = (x – 1)(2 – 3x) = 2x – 3x² – 2 + 3x = –3x² + 5x – 2. Đây là hàm số bậc hai với a = –3, b = 5, c = –2.

b) Thay từng giá trị:

x	–2	–1	0	1
y	–24	–10	–2	0

Chẳng hạn x = –2: y = –3·4 + 5·(–2) – 2 = –12 – 10 – 2 = –24. Chi tiết: Luyện tập 1.

Vận dụng 1 trang 12 – viên bi rơi tự do

a) Bi chạm đất khi h = 0: 19,6 – 4,9t² = 0 ⇔ t² = 4 ⇔ t = 2 (loại t = –2 vì t ≥ 0). Vậy sau 2 giây.

b) Theo đề t ≥ 0 nên tập xác định là D = [0; +∞). Vì t² ≥ 0 nên h = 19,6 – 4,9t² ≤ 19,6; kết hợp h ≥ 0 ta được 0 ≤ h ≤ 19,6, tức tập giá trị là [0; 19,6]. Lưu ý thực tế: viên bi chỉ rơi trong khoảng 0 ≤ t ≤ 2. Xem Vận dụng 1.

Hoạt động 2 và 3 – đồ thị hàm số bậc hai

Với S(x) = –2x² + 20x (0 < x < 10), ta lập bảng giá trị:

x	0	2	5	8	10
S(x)	0	32	50	32	0

Các điểm nằm trên một đường cong đối xứng qua đường thẳng x = 5, điểm cao nhất là đỉnh I(5; 50). Đó chính là parabol.

Ở Hoạt động 3, quan sát các đồ thị ta rút ra: a > 0 thì parabol “mở lên”, đỉnh là điểm thấp nhất; a < 0 thì parabol “mở xuống”, đỉnh là điểm cao nhất. Tham khảo Hoạt động 2 và Hoạt động 3.

Luyện tập 2 trang 15 – vẽ parabol y = 3x² – 10x + 7

• a = 3 > 0: bề lõm hướng lên.
• Hoành độ đỉnh: x = 10/6 = 5/3; tung độ: y = 3·25/9 – 50/3 + 7 = 25/3 – 50/3 + 21/3 = –4/3. Đỉnh I(5/3; –4/3).
• Giao Oy: (0; 7). Giao Ox: 3x² – 10x + 7 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 7/3.

Kết luận: hàm số nghịch biến trên (–∞; 5/3), đồng biến trên (5/3; +∞), giá trị nhỏ nhất bằng –4/3 tại x = 5/3. Chi tiết: Luyện tập 2.

Vận dụng 2 trang 15 – cầu vượt ba tầng

Bài này mô hình hoá hình dạng cầu bằng một parabol. Cách làm chung: chọn hệ trục Oxy (thường đặt gốc tại chân cầu hoặc đỉnh), đọc toạ độ vài điểm quen thuộc từ hình vẽ và số liệu đề cho, gọi y = ax² + bx + c rồi lập hệ phương trình tìm a, b, c. Em đối chiếu số liệu cụ thể với hình trong sách; lời giải đầy đủ xem ở Vận dụng 2.

B. Giải bài tập trang 16

Bài 6.7 – Vẽ các parabol

Hàm số	Đỉnh	Giao Oy	Giao Ox
a) y = x2 – 3x + 2	(3/2; –1/4)	(0; 2)	(1; 0), (2; 0)
b) y = –2x2 + 2x + 3	(1/2; 7/2)	(0; 3)	((1 ± √7)/2; 0)
c) y = x2 + 2x + 1	(–1; 0)	(0; 1)	(–1; 0) – tiếp xúc
d) y = –x2 + x – 1	(1/2; –3/4)	(0; –1)	không cắt (Δ = –3 < 0)

Kiểm tra câu b: Δ = 4 + 24 = 28, nghiệm x = (–2 ± 2√7)/(–4) = (1 ∓ √7)/2. Parabol a, c bề lõm lên; b, d bề lõm xuống. Xem Bài 6.7.

Bài 6.8 – Khoảng đồng biến, nghịch biến

• a) Nghịch biến trên (–∞; 3/2), đồng biến trên (3/2; +∞).
• b) Đồng biến trên (–∞; 1/2), nghịch biến trên (1/2; +∞).
• c) Nghịch biến trên (–∞; –1), đồng biến trên (–1; +∞).
• d) Đồng biến trên (–∞; 1/2), nghịch biến trên (1/2; +∞).

Mẹo nhớ: a > 0 thì “xuống rồi lên” (nghịch biến trước, đồng biến sau); a < 0 thì ngược lại. Mốc đổi chiều luôn là hoành độ đỉnh. Xem Bài 6.8.

Bài 6.9 – Xác định parabol y = ax² + bx + 1

Trường hợp đi qua hai điểm A(1; 0) và B(2; 4):

• A thuộc parabol: a + b + 1 = 0 (1).
• B thuộc parabol: 4a + 2b + 1 = 4 (2).
• Từ (1): b = –1 – a. Thay vào (2): 4a – 2 – 2a + 1 = 4 ⇒ 2a = 5 ⇒ a = 5/2, b = –7/2.

Vậy y = (5/2)x² – (7/2)x + 1. Kiểm tra lại: A: 5/2 – 7/2 + 1 = 0 ✓.

Với các trường hợp khác (cho trục đối xứng hoặc đỉnh), em dùng thêm điều kiện –b/2a = x₀. Ví dụ tự đặt: parabol y = ax² + bx + 1 đi qua A(1; 0) và có trục đối xứng x = –3. Khi đó a + b = –1 và b = 6a, suy ra a = –1/7, b = –6/7. Xem Bài 6.9.

Bài 6.10 – Parabol qua A(8; 0), đỉnh I(6; –12)

Đỉnh có hoành độ 6 nên –b/2a = 6 ⇒ b = –12a. A thuộc parabol: 64a + 8b + c = 0 ⇒ 64a – 96a + c = 0 ⇒ c = 32a. I thuộc parabol: 36a + 6b + c = –12 ⇒ 36a – 72a + 32a = –12 ⇒ –4a = –12 ⇒ a = 3.

Suy ra b = –36, c = 96. Parabol cần tìm: y = 3x² – 36x + 96. Thử lại: y(8) = 192 – 288 + 96 = 0 ✓; y(6) = 108 – 216 + 96 = –12 ✓. Xem Bài 6.10.

Bài 6.11 – Dấu của a và Δ qua hình dạng parabol

Đề cho các hình parabol; em đọc hình theo quy tắc sau (đối chiếu với từng hình trong sách):

Quan sát parabol	Dấu của a	Dấu của Δ
Mở lên, cắt Ox tại hai điểm	a > 0	Δ > 0
Mở lên, tiếp xúc Ox	a > 0	Δ = 0
Mở lên, nằm hoàn toàn trên Ox	a > 0	Δ < 0
Mở xuống, cắt Ox tại hai điểm	a < 0	Δ > 0
Mở xuống, tiếp xúc Ox	a < 0	Δ = 0
Mở xuống, nằm hoàn toàn dưới Ox	a < 0	Δ < 0

Xem lời giải từng hình ở Bài 6.11.

Bài 6.12 – Đối thoại giữa An và Bình

Đây là bài lập luận. Cách làm: đối chiếu từng nhận định của hai bạn với định nghĩa (y = ax² + bx + c, a ≠ 0) và với tính chất của parabol (đỉnh, trục đối xứng, chiều bề lõm), rồi kết luận bạn nào đúng và giải thích. Lời giải cụ thể xem tại Bài 6.12.

Bài 6.13 – Bác Hùng rào vườn bằng 40 m lưới

Chu vi hình chữ nhật là 40 m nên nửa chu vi là 20 m. Gọi một cạnh là x (m), 0 < x < 20, cạnh kia là 20 – x.

• a) Diện tích: S(x) = x(20 – x) = –x² + 20x.
• b) S(x) = –(x – 10)² + 100 ≤ 100, dấu bằng khi x = 10.

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất 100 m² khi là hình vuông cạnh 10 m. Đối chiếu với bài mở đầu: rào ba mặt thì cạnh dọc theo tường dài gấp đôi, còn rào bốn mặt thì tối ưu là hình vuông. Xem Bài 6.13.

Bài 6.14 – Quỹ đạo của vật được ném

Dạng bài: quỹ đạo là parabol y = ax² + bx đi qua gốc O với a < 0. Hai câu hỏi thường gặp là độ cao cực đại (tung độ đỉnh) và tầm xa (nghiệm khác 0 của y = 0). Ví dụ minh hoạ với y = –0,003x² + x (em thay hệ số theo đề của mình):

• Độ cao cực đại: đỉnh có x = 1/(2·0,003) ≈ 166,7 m, y ≈ 83,3 m.
• Tầm xa: –0,003x² + x = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 1/0,003 ≈ 333,3 m.

Lời giải theo số liệu của đề: Bài 6.14.

Bài luyện tập tự đặt (có đáp án)

1. Vẽ parabol y = –x² + 4x – 3 và nêu khoảng đồng biến, giá trị lớn nhất.
   Đáp án: a = –1 < 0; đỉnh I(2; 1); cắt Ox tại x = 1 và x = 3; đồng biến trên (–∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞); giá trị lớn nhất bằng 1 tại x = 2.
2. Xác định parabol y = ax² + bx + c đi qua (0; 3) và có đỉnh I(1; 2).
   Đáp án: c = 3; b = –2a; a + b + 3 = 2 ⇒ a = 1, b = –2. Vậy y = x² – 2x + 3.
3. Rào vườn bằng lưới dài 30 m, ba mặt áp tường. Tìm x để diện tích lớn nhất.
   Đáp án: S = x(30 – 2x) = –2(x – 7,5)² + 112,5, lớn nhất 112,5 m² khi x = 7,5 m.

Tài liệu học tiếp

• Sách bài tập Toán 10 Bài 16
• 20 câu trắc nghiệm Hàm số bậc hai
• Bài 15: Hàm số
• Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai
• Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai
• Bài tập cuối chương 6
• Giải SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Câu hỏi thường gặp

Hàm số bậc hai là gì?

Là hàm số cho bởi công thức y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là hằng số và a ≠ 0. Đồ thị của nó là một đường parabol.

Làm sao tìm nhanh đỉnh của parabol y = ax² + bx + c?

Hoành độ đỉnh là x = –b/(2a). Thay giá trị này vào hàm số để được tung độ đỉnh, hoặc dùng công thức y = –Δ/(4a) với Δ = b² – 4ac.

Khi nào hàm số bậc hai có giá trị lớn nhất, khi nào có giá trị nhỏ nhất?

Nếu a 0, parabol mở lên nên hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Bài toán rào vườn ở phần mở đầu Bài 16 có đáp số là bao nhiêu?

Cọc cần cắm cách bờ tường 5 m, khi đó cạnh song song với tường dài 10 m và diện tích lớn nhất của mảnh đất là 50 m².

Bài học liên quan

• Phân tích vectơ c = (5; 0) theo a = (2; 2) và b = (1; −4)
• Từ hai vị trí A, B của tòa nhà quan sát đỉnh núi C: tính chiều cao núi
• Cho hình thoi ABCD có AC=8, BD=6: tính độ dài vectơ AB+AC và AB−AC
• Biết hai vectơ a và b không cùng phương, 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương: tìm x
• Phát biểu nào dưới đây đúng? Cách làm và ví dụ có đáp án
• Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x² + 3x + 2