Hàm số nào có tập xác định là R? Cách nhận biết

Trả lời nhanh

Hàm số có tập xác định là R khi biểu thức của nó có nghĩa với mọi số thực x. Đó thường là đa thức, hàm có căn bậc lẻ, hàm sin, cos, hàm mũ, hoặc phân thức/căn/logarit mà biểu thức bên trong luôn dương (ví dụ x² + 1). Nếu có mẫu bằng 0 được, căn bậc chẵn âm được, hoặc tan, cot thì tập xác định khác R.

Đề gốc của câu hỏi này là dạng trắc nghiệm “Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?” với bốn phương án khác nhau tuỳ đề. Vì mỗi đề cho bốn hàm số khác nhau, ở đây thầy cô hướng dẫn phương pháp loại trừ để em áp dụng cho mọi đề. Các hàm số trong ví dụ bên dưới là ví dụ tự đặt.

Quy tắc kiểm tra tập xác định có là R hay không

Dạng hàm số	Điều kiện có nghĩa	Tập xác định là R khi nào?
Đa thức, y = ax + b, y = ax² + bx + c…	Không có điều kiện	Luôn là R
Phân thức y = P(x)/Q(x)	Q(x) ≠ 0	Khi Q(x) = 0 vô nghiệm (ví dụ x² + 1, x² + x + 1)
Căn bậc chẵn y = √A(x)	A(x) ≥ 0	Khi A(x) ≥ 0 với mọi x
Căn bậc lẻ y = ∛A(x)	Không có điều kiện	Khi A(x) là đa thức
Logarit y = ln A(x)	A(x) > 0	Khi A(x) > 0 với mọi x
y = sin x, y = cos x, y = a^x (a > 0)	Không có điều kiện	Luôn là R
y = tan x, y = cot x	cos x ≠ 0; sin x ≠ 0	Không bao giờ là R

Ví dụ minh hoạ (tự đặt)

Giả sử đề cho bốn hàm số sau, hãy chọn hàm số có tập xác định là R.

A. y = 1/(x² − 1)
B. y = √(x² − 4x + 3)
C. y = √(x² − 4x + 5)
D. y = tan x

Giải.

A: mẫu bằng 0 khi x = ±1 nên tập xác định là R \ {−1; 1}. Loại.
B: cần x² − 4x + 3 ≥ 0, có nghiệm x = 1 và x = 3, nên bất phương trình chỉ đúng khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 3. Loại.
C: x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x nên căn luôn có nghĩa. Chọn C.
D: tan x không xác định tại x = π/2 + kπ. Loại.

Mẹo: với tam thức bậc hai ax² + bx + c (a > 0), nếu Δ < 0 thì biểu thức luôn dương; đây là “bẫy” quen thuộc để biến một căn hay phân thức thành hàm xác định trên R.

Dạng có tham số m

Đề thường hỏi “tìm m để hàm số có tập xác định là R”. Cách làm là đưa về điều kiện tam thức luôn không âm hoặc luôn dương với a > 0.

y = 1/(x² − 2x + m): cần x² − 2x + m ≠ 0 với mọi x, tức Δ’ = 1 − m < 0, suy ra m > 1.
y = √(x² + 2mx + 4): cần x² + 2mx + 4 ≥ 0 với mọi x, tức Δ’ = m² − 4 ≤ 0, suy ra −2 ≤ m ≤ 2.
y = ln(x² + mx + 1): cần biểu thức > 0 với mọi x, tức Δ = m² − 4 < 0, suy ra −2 < m < 2.

Chú ý sự khác nhau: căn cho phép Δ = 0 (biểu thức bằng 0 vẫn có nghĩa), còn mẫu số và logarit thì không.

Lỗi sai thường gặp

Thấy có căn là loại ngay. Căn bậc chẵn của biểu thức luôn không âm (như (x − 2)² + 1) vẫn có tập xác định R.
Quên rằng căn bậc lẻ không cần điều kiện. Hàm y = ∛(x − 5) có tập xác định R.
Nhầm dấu bằng: dùng Δ ≤ 0 cho mẫu số hoặc logarit, trong khi phải là Δ < 0.
Không để ý a > 0: nếu a < 0 thì tam thức không thể luôn dương.
Với hàm chứa |x|, như y = 1/(|x| + 1), mẫu luôn ≥ 1 nên tập xác định là R.

Bài luyện tập

Hàm số y = √(x² + x + 1) có tập xác định là R không?
Đáp án: Có. Δ = 1 − 4 = −3 < 0 và a = 1 > 0 nên x² + x + 1 > 0 với mọi x.
Tìm tập xác định của y = √(x² − 6x + 8).
Đáp án: x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) ≥ 0 nên x ≤ 2 hoặc x ≥ 4. Không phải R.
Tìm m để y = √(x² − 2mx + 9) có tập xác định là R.
Đáp án: Δ’ = m² − 9 ≤ 0 nên −3 ≤ m ≤ 3.

Tóm tắt cách làm trắc nghiệm nhanh

Gạch ngay các phương án có tan, cot hoặc mẫu có nghiệm thực rõ ràng.
Với căn chẵn và logarit, tính Δ của biểu thức trong để xem có luôn dương/không âm không.
Thử một giá trị x cụ thể (x = 0, 1, 2…) để phát hiện nhanh phương án sai.

Câu hỏi thường gặp

Hàm số nào luôn có tập xác định là R?

Đa thức, hàm sin, cos, hàm mũ a^x (a > 0), căn bậc lẻ của đa thức, và các phân thức hoặc căn bậc chẵn mà biểu thức cần điều kiện luôn thoả mãn với mọi x (ví dụ mẫu x² + 1).

Hàm số chứa căn bậc hai có thể có tập xác định là R không?

Có, nếu biểu thức dưới căn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x, chẳng hạn y = √(x² + 1) hoặc y = √((x − 2)² + 3).

Tập xác định của y = 1/(x² + 1) là gì?

Là R, vì x² + 1 ≥ 1 > 0 nên mẫu số không bao giờ bằng 0.

Tìm m để hàm chứa căn hoặc logarit có tập xác định R thì dùng điều kiện nào?

Với tam thức ax² + bx + c có a > 0: căn bậc hai cần Δ ≤ 0; mẫu số hoặc logarit cần Δ < 0.