Lý thuyết Chương 5 Toán 10: Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Chương 5 Toán 10 (Kết nối tri thức) trả lời hai câu hỏi: “số liệu này nằm quanh giá trị nào?” và “số liệu này rải đều hay chênh lệch nhiều?”. Bạn hãy nhớ như vậy, rồi học từng công thức sẽ dễ hơn. Chương này nối tiếp chương Vectơ và đứng trước phần hàm số, tọa độ. Muốn xem toàn bộ lý thuyết các chương khác, hãy vào các bài: Lý thuyết Chương 4: Vectơ, Lý thuyết Chương 6: Hàm số, đồ thị và ứng dụng.

1. Số gần đúng, sai số và quy tròn

Số gần đúng và sai số tuyệt đối

Khi không biết (hoặc khó biết) giá trị đúng a^*, ta dùng một giá trị xấp xỉ a gọi là số gần đúng. Độ lệch giữa hai số là sai số tuyệt đối: Δ_a = |a − a^*|.

Thực tế ta thường không biết a^*, nên chỉ ước lượng được Δ_a ≤ d. Khi đó viết a^* = a ± d, nghĩa là số đúng nằm trong đoạn [a − d; a + d]. Số d càng nhỏ thì phép đo càng chính xác, nên d gọi là độ chính xác.

Với dụng cụ đo, độ chính xác d bằng một nửa đơn vị chia nhỏ nhất. Ví dụ thước chia đến milimét thì d = 0,5 mm.

Sai số tương đối

Sai số tương đối là δ_a = Δ_a / |a|, thường viết dưới dạng phần trăm. Nếu a^* = a ± d thì δ_a ≤ d/|a|. Tỉ số này càng nhỏ, phép đo càng tốt.

Ví dụ 1. Dùng cân chia vạch đến 1 kg, một bao gạo được ghi là 52 kg. Khi đó d = 0,5 kg, nên sai số tương đối δ ≤ 0,5/52 ≈ 0,96%. Nếu cũng cân đó mà cân một túi 5 kg thì δ ≤ 0,5/5 = 10%. Cùng một dụng cụ nhưng vật nhẹ sẽ có sai số tương đối lớn hơn nhiều. Đây là điều sai số tuyệt đối không cho thấy.

Quy tròn số gần đúng

• Chữ số ở hàng làm tròn: giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nhỏ hơn 5; tăng thêm 1 nếu chữ số đó lớn hơn hoặc bằng 5.
• Các chữ số sau hàng làm tròn: bỏ đi nếu ở phần thập phân; thay bằng chữ số 0 nếu ở phần nguyên.
• Sai số tuyệt đối do quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.

Khi đề cho số gần đúng a với độ chính xác d mà không nói làm tròn đến hàng nào, ta làm tròn đến hàng thấp nhất mà d còn nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.

Ví dụ 2. Cho a = 2841 với d = 50. Hàng chục có một đơn vị là 10, mà 50 > 10 nên không dùng được. Hàng trăm có một đơn vị là 100 > 50, thỏa mãn. Vậy làm tròn đến hàng trăm: a ≈ 2800.

Lỗi hay gặp: làm tròn đến hàng quá thấp (giữ cả chữ số chục) khiến kết quả “nhìn như chính xác” hơn thực tế. Chữ số nào còn nằm trong khoảng sai số thì không đáng tin.

2. Các số đo xu thế trung tâm

Số trung bình

Với mẫu x₁, x₂, …, x_n: x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n.

Nếu mẫu cho dưới dạng bảng tần số (giá trị x_k có tần số m_k) thì x̄ = (m₁x₁ + … + m_kx_k) / n, với n = m₁ + … + m_k.

Ví dụ 3. Điểm của 10 bạn: điểm 5 có 2 bạn, điểm 6 có 3 bạn, điểm 7 có 4 bạn, điểm 8 có 1 bạn. Ta có x̄ = (2·5 + 3·6 + 4·7 + 1·8)/10 = 64/10 = 6,4.

Trung vị

Để tìm trung vị M_e: sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm. Nếu n lẻ, M_e là giá trị chính giữa. Nếu n chẵn, M_e là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa.

Ưu điểm lớn của trung vị là không bị kéo lệch bởi giá trị quá lớn hoặc quá bé. Vì vậy khi mẫu có giá trị bất thường, nên dùng trung vị thay cho số trung bình.

Mốt

Mốt (M_o) là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu. Một mẫu có thể có nhiều mốt, và mốt có thể dùng cả cho dữ liệu không phải số (như cỡ áo bán chạy nhất). Ở Ví dụ 3, mốt là 7 vì có 4 bạn đạt điểm 7.

Tứ phân vị

Tứ phân vị chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần có số liệu gần bằng nhau. Cách tìm:

1. Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm, tìm Q₂ = M_e.
2. Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂ (các giá trị nhỏ hơn Q₂ về vị trí).
3. Q₃ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂.

Mẹo nhớ: nếu n lẻ, giá trị chính giữa là Q₂ và bị loại khỏi cả hai nửa. Nếu n chẵn, chia đôi mẫu thành hai nửa đúng bằng nhau. Nhiều bạn quên loại giá trị chính giữa khi n lẻ nên Q₁, Q₃ bị sai.

3. Các số đo độ phân tán

Đại lượng	Công thức	Ý nghĩa
Khoảng biến thiên R	R = xmax − xmin	Độ rộng toàn mẫu, nhạy với giá trị bất thường
Khoảng tứ phân vị ΔQ	ΔQ = Q3 − Q1	Độ rộng của 50% số liệu ở giữa, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường
Phương sai s2	s2 = (1/n)·[(x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2]	Trung bình của bình phương độ lệch so với x̄
Độ lệch chuẩn s	s = √(s2)	Cùng đơn vị với số liệu nên dễ so sánh

Công thức tính nhanh phương sai: s² = (x₁² + … + x_n²)/n − x̄², tức là “trung bình của bình phương trừ bình phương của trung bình”. Với bảng tần số: s² = (1/n)·Σ m_k(x_k − x̄)².

Ví dụ 4. Mẫu 2; 4; 4; 6; 9. Ta có x̄ = 25/5 = 5. Các độ lệch lần lượt là −3; −1; −1; 1; 4, bình phương là 9; 1; 1; 1; 16, tổng 28. Do đó s² = 28/5 = 5,6 và s = √5,6 ≈ 2,37. Kiểm tra bằng công thức nhanh: (4 + 16 + 16 + 36 + 81)/5 − 25 = 30,6 − 25 = 5,6, kết quả khớp.

Ví dụ 5 (bảng tần số ở Ví dụ 3). Σ m_kx_k² = 2·25 + 3·36 + 4·49 + 1·64 = 418, nên s² = 41,8 − 6,4² = 41,8 − 40,96 = 0,84, suy ra s ≈ 0,92.

Cách chọn đại lượng: hai mẫu có cùng đơn vị và số trung bình gần nhau thì mẫu nào có phương sai (hay độ lệch chuẩn) nhỏ hơn là mẫu đồng đều hơn.

4. Giá trị bất thường và biểu đồ hộp

Một giá trị x được coi là bất thường nếu x > Q₃ + 1,5·Δ_Q hoặc x < Q₁ − 1,5·Δ_Q. Hai mốc này gọi là “rào” trên và rào dưới.

Ví dụ 6. Cho mẫu gồm 11 giá trị đã sắp xếp: 4; 5; 6; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 10; 40.

• n = 11 là số lẻ, giá trị thứ 6 là 8 nên Q₂ = M_e = 8.
• Nửa trái (4; 5; 6; 6; 7) có trung vị 6 nên Q₁ = 6. Nửa phải (8; 9; 9; 10; 40) có trung vị 9 nên Q₃ = 9.
• Δ_Q = 9 − 6 = 3. Rào dưới: 6 − 4,5 = 1,5. Rào trên: 9 + 4,5 = 13,5.
• Giá trị 40 > 13,5 nên 40 là giá trị bất thường. Các giá trị còn lại nằm trong hai rào.

Hãy so sánh các số đo. Số trung bình của cả mẫu là 112/11 ≈ 10,18, lớn hơn cả 10 giá trị còn lại trừ giá trị 40. Nếu bỏ 40, trung bình chỉ còn 72/10 = 7,2. Trung vị chỉ thay đổi từ 8 xuống 7,5. Khoảng biến thiên là 40 − 4 = 36, trong khi khoảng tứ phân vị chỉ là 3. Qua đó ta thấy: có giá trị bất thường thì dùng M_e và Δ_Q sẽ phản ánh đúng “số liệu thường thấy” hơn.

5. Bảng so sánh nhanh

Nhu cầu	Nên dùng	Lưu ý
Đại diện cho mẫu khi số liệu cân đối	Số trung bình	Nhạy với giá trị bất thường
Đại diện cho mẫu có giá trị quá lớn/bé	Trung vị	Phải sắp xếp trước
Tìm giá trị phổ biến nhất	Mốt	Có thể có nhiều mốt
Đo độ phân tán, mẫu có giá trị bất thường	Khoảng tứ phân vị	Chỉ dựa vào 50% số liệu giữa
Đo độ phân tán đầy đủ, so sánh hai mẫu	Phương sai, độ lệch chuẩn	Chỉ so sánh khi cùng đơn vị

6. Lỗi sai thường gặp

• Không sắp xếp mẫu trước khi tìm trung vị và tứ phân vị.
• Khi n lẻ, vẫn đưa trung vị vào hai nửa khi tìm Q₁, Q₃.
• Quên chia cho n khi tính phương sai, hoặc quên lấy căn bậc hai để ra độ lệch chuẩn.
• Với bảng tần số, quên nhân tần số (viết x_k thay cho m_kx_k).
• Kết luận “mốt là tần số lớn nhất” — sai, mốt là giá trị có tần số lớn nhất.

7. Bài luyện tập có đáp án

Bài 1. Cho mẫu: 12; 15; 11; 18; 14; 15; 20; 13. Tìm số trung bình, tứ phân vị, khoảng tứ phân vị và cho biết mẫu có giá trị bất thường không.

Đáp án. Sắp xếp: 11; 12; 13; 14; 15; 15; 18; 20 (n = 8). Trung bình: 118/8 = 14,75. Q₂ = (14 + 15)/2 = 14,5. Nửa trái (11; 12; 13; 14) có Q₁ = 12,5. Nửa phải (15; 15; 18; 20) có Q₃ = 16,5. Δ_Q = 4. Rào dưới 12,5 − 6 = 6,5; rào trên 16,5 + 6 = 22,5. Mọi giá trị đều nằm trong hai rào nên không có giá trị bất thường.

Bài 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 3; 5; 7; 9; 11.

Đáp án. x̄ = 7. Các bình phương độ lệch: 16; 4; 0; 4; 16, tổng 40. s² = 40/5 = 8; s = √8 ≈ 2,83.

Bài 3. Hai tổ có điểm kiểm tra: Tổ A: 6; 7; 7; 8. Tổ B: 4; 7; 8; 9. Tổ nào có kết quả đồng đều hơn?

Đáp án. Cả hai tổ có x̄ = 7. Tổ A: các bình phương độ lệch 1; 0; 0; 1 nên s² = 2/4 = 0,5. Tổ B: 9; 0; 1; 4 nên s² = 14/4 = 3,5. Phương sai tổ A nhỏ hơn, vậy tổ A đồng đều hơn.

8. Tài liệu ôn tập tiếp theo

• Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 5
• Sách bài tập Toán 10 – Bài tập cuối chương 5
• 30 câu trắc nghiệm Chương 5 có đáp án
• Lý thuyết Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
• Lý thuyết Chương 8: Đại số tổ hợp
• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức

Câu hỏi thường gặp

Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm gồm những gì?

Gồm số đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) và số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn).

Khi nào nên dùng trung vị thay cho số trung bình?

Khi mẫu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với phần còn lại). Trung vị không bị kéo lệch bởi các giá trị này, còn số trung bình thì bị ảnh hưởng mạnh.

Khi số giá trị n là số lẻ, tìm Q1 và Q3 như thế nào?

Sắp xếp mẫu, lấy giá trị chính giữa làm Q2 rồi loại nó ra. Q1 là trung vị của nửa bên trái, Q3 là trung vị của nửa bên phải.

Làm sao nhận biết một giá trị là bất thường?

Tính khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1. Giá trị lớn hơn Q3 + 1,5·ΔQ hoặc nhỏ hơn Q1 − 1,5·ΔQ là giá trị bất thường.

Bài học liên quan

• Phân tích vectơ c = (5; 0) theo a = (2; 2) và b = (1; −4)
• Từ hai vị trí A, B của tòa nhà quan sát đỉnh núi C: tính chiều cao núi
• Cho hình thoi ABCD có AC=8, BD=6: tính độ dài vectơ AB+AC và AB−AC
• Biết hai vectơ a và b không cùng phương, 2a − 3b và a + (x − 1)b cùng phương: tìm x
• Phát biểu nào dưới đây đúng? Cách làm và ví dụ có đáp án
• Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x² + 3x + 2