Lời giải:

1) $x\in [2;5]\iff 2\le x\le 5$. Nối với d)

2) $x\in (2;5]\iff 2<x\le 5$. Nối với a)

3) $x\in [7;+\mathrm{\infty })\iff x\ge 7$. Nối với b)

4) $x\in (7;10)\iff 7<x<10$. Nối với c)

3. Các phép toán trên tập hợp

HĐ7 trang 16 Toán lớp 10: Viết tập hợp X gồm những thành viên tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2 trong tình huống mở đầu.

Tập X có phải là tập con của tập A không? Tập X có phải là tập con của tập B không? (A, B là các tập hợp trong HĐ1).

Lời giải:

X = {Khánh; Bình; Hương; Chi; Tú}

A= {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh}

B = {Hương; Chi; Tú; Khánh; Bình; Hân; Hiền; Lam}

Dễ thấy: Các phần tử của X đều là phần tử của tập hợp A và tập hợp B.

Do đó $X\subset A$ và $X\subset B$

Giải Toán 10 trang 17 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 5 trang 17 Toán lớp 10: Cho các tập hợp C = [1; 5], D = [-2; 3]. Hãy xác định tập hợp $C\cap D$.

HĐ8 trang 17 Toán lớp 10: Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2.

Lời giải:

Kí hiệu H là tập hợp tất cả các thành viên tham gia chuyên đề 1 hoặc chuyên đề 2.

Tập hợp các bạn tham gia chuyên đề 1: A= {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh}

Tập hợp các bạn tham gia chuyên đề 2: B = {Hương; Chi; Tú; Khánh; Bình; Hân; Hiền; Lam}

Vậy H = {Nam; Ngân; Hân; Hiền; Lam; Khánh; Bình; Hương; Chi; Tú }

Chú ý khi giải:

Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.

Luyện tập 6 trang 17 Toán lớp 10: Hãy biểu diễn tập hợp $A\cup B$ bằng biểu đồ Ven, với A, B được cho trong HĐ1

Lời giải:

Ta có:

A= {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh}

B = {Hương; Chi; Tú; Khánh; Bình; Hân; Hiền; Lam}

Biểu đồ Ven

Giải Toán 10 trang 18 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ9 trang 18 Toán lớp 10: Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2.

Lời giải:

A= {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh}

X = {Khánh; Bình; Hương; Chi; Tú }

Có Nam và Ngân chỉ tham gia chuyên đề 1.

Tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2 là

G = {Nam; Ngân}

Luyện tập 7 trang 18 Toán lớp 10: Tìm phần bù của các tập hợp sau trong $\mathbb{R}$:

a) $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$

b) $[-5;+\mathrm{\infty })$

Phương pháp giải:

Biểu diễn các tập hợp trên trục số.

Lời giải:

Ta có:

Suy ra phần bù của tập hợp $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ trong $\mathbb{R}$ là: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left(-\mathrm{\infty };-2\right)=[-2;+\mathrm{\infty })$

Suy ra phần bù của tập hợp $[-5;+\mathrm{\infty })$ trong $\mathbb{R}$ là: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }[-5;+\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty };-5)$

Vận dụng trang 18 Toán lớp 10: Lớp 10A có 24 bạn tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có 16 bạn thi đấu bóng đá và 11 bạn thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông?

Phương pháp giải:

Gọi x là số bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.

Sử dụng biểu đồ Ven để mô tả các tập hợp.

Lời giải:

Gọi $x$ là số bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.

Ta có: 16 bạn thi đấu bóng đá và 11 bạn thi đấu cầu lông

$\Rightarrow$ Có $16-x$ bạn chỉ tham gia thi đấu bóng đá mà không thi đấu cầu lông.

Và có $11-x$ bạn chỉ tham gia thi đấu cầu lông mà không thi đấu bóng đá.

Ta có biểu đồ Ven như sau:

Giải Toán 10 trang 19 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 1.8 trang 19 Toán lớp 10: Gọi X là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X và biểu diễn tập X bằng biểu đồ Ven.

Lời giải:

X = {Lào; Campuchia; Trung quốc; Thái Lan}

Biểu đồ Ven:

Bài 1.9 trang 19 Toán lớp 10: Kí hiệu E là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

a) Nếu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp E.

b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp E.

c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp E. Tập hợp E có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

a) Việt Nam $\in E$; Thái Lan $\in E$; Lào $\in E.$

b) Nhật Bản $\notin E$; Hàn Quốc $\notin E$.

c) E = {Việt Nam; Lào; Campuchia; Thái Lan; Myanmar; Malaysia; Singapore; Indonesia; Brunei; Philippines; Đông Timor}

Có 11 nước thuộc khu vực Đông Nam Á. Hay tập hợp E có 11 phần tử $(n(E)=11)$.

Bài 1.10 trang 19 Toán lớp 10: Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp: A = {0; 4; 8; 12; 16}

Lời giải:

0; 4; 8; 12; 16 là các bội của 4 và nhỏ hơn 17.

A = {$n\in \mathbb{N}|n\in B(4)$ và $n<17$}

Hoặc:

A = {$n=4.k|k\in \mathbb{N}$ và $k\le 4$}

Bài 1.11 trang 19 Toán lớp 10: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng?

b) $\left\{a\right\}\subset X$;

c) $\mathrm{\varnothing }\in X$;

Lời giải:

a) Cách viết: $a\subset X$ Sai vì $a$ (là một phần tử của A) không phải là một tập hợp.

Hoặc $a$ là một phần tử của A, nên ta phải dùng kí hiệu “$\in$” thay vì “$\subset$”.

Cách viết đúng: $a\in X$

b) Cách viết $\left\{a\right\}\subset X$ đúng, vì $\left\{a\right\}$là một tập hợp, có duy nhất một phần tử là $a$ và $a\in X$

Thế nên tập hợp $\left\{a\right\}$ là một tập con của $X$.

c) Cách viết $\mathrm{\varnothing }\in X$sai vì:

$\mathrm{\varnothing }$ là một tập hợp (tập hợp rỗng), không phải là một phần tử.

Cách viết đúng: $\mathrm{\varnothing }\subset X$( Tập hợp rỗng là tập con của mọi tập hợp).

Bài 1.13 trang 19 Toán lóp 10: Cho $A=\left\{2;5\right\},B=\left\{5;x\right\},C=\left\{2;y\right\}$.Tìm $x,y$ để $A=B=C$.

Lời giải:

Để $A=B$

$\begin{array}{l}\Rightarrow B\subset A\\ \iff \left\{5;x\right\}\subset \left\{2;5\right\}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 5\\ x\in \left\{2;5\right\}\end{array}\\ \iff x=2\end{array}$

Tương tự, ta có:

$\begin{array}{l}A=C\Rightarrow C\subset A\\ \iff \left\{2;y\right\}\subset \left\{2;5\right\}\\ \iff \{\begin{array}{l}y\ne 2\\ y\in \left\{2;5\right\}\end{array}\\ \iff y=5\end{array}$

Vậy $x=2;y=5$ thì $A=B=C$.

Bài 1.14 trang 19 Toán lớp 10: Cho $A=\left\{x\in \mathbb{Z}|x<4\right\},$ $B=\left\{x\in \mathbb{Z}|\left(5x-3x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)=0\right\}$

Bài 1.15 trang 19 Toán lớp 10: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) $(-4;1]\cap [0;3)$

b) $(0;2]\cup [-3;1)$

c) $(-2;1)\cap (-\mathrm{\infty };1]$

d) $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }(-\mathrm{\infty };3]$

Lời giải:

a) Ta có:

Giao của hai tập hợp là $(-4;1]\cap [0;3)=\left[0;1\right]$

b) Ta có:

Hợp của hai tập hợp là $(0;2]\cup (-3;1]=(-3;2]$

c) Ta có:

Giao của hai tập hợp là $(-2;1)\cap (-\mathrm{\infty };1]=(-2;1)$

d) Ta có:

Phần bù của tập hợp $(-\mathrm{\infty };3]$ trong $\mathbb{R}$ là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }(-\mathrm{\infty };3]=(3;+\mathrm{\infty })$

Bài 1.16 trang 19 Toán lớp 10: Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

Lời giải:

Gọi A là tập hợp những người phiên dịch tiếng Anh, B là tập hợp những người phiên dịch tiếng Pháp.

Ta có: $n\left(A\right)=35$, $n\left(B\right)=30$. 

Biểu đồ Ven

a) $n\left(A\cup B\right)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=35+30-16=49$

Vậy ban tổ chức đã huy động 49 người phiên dịch cho hội nghị đó

b) $n\left(A\mathrm{\setminus }B\right)=n(A)-n(A\cap B)=35-16=19$

Vậy có 19 người chỉ phiên dịch được tiếng Anh

c) $n\left(B\mathrm{\setminus }\mathrm{A}\right)=n(B)-n(B\cap A)=30-16=14$

Vậy có 14 người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp

Lý thuyết Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

1.1. Tập hợp

• Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

•  a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.
•  a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S).

Ví dụ:

- Cho tập hợp A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2, lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15.

+ Ta mô tả tập hợp A bằng hai cách như sau:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: A = {6; 8; 10; 12; 14};

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phẩn tử: A = { | n ⁝ 2, 5 < n < 15}.

+ Tập hợp A có 5 phần tử, ta viết: n(A) = 5.

+ 10 thuộc tập hợp A, ta viết 10 ∈ A.

+ 15 không thuộc tập hợp A, ta viết 15 ∉ A.

• Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là .

Ví dụ:

+ Tập hợp các nghiệm của phương trình x² + 1 = 0 là tập rỗng;

+ Tập hợp những người sống trên Mặt Trời là tập rỗng.

1.2. Tập hợp con

• Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con (tập con) của S và viết là T ⊂ S (đọc là T chứa trong S hoặc T là tập con của S).

- Thay cho T ⊂ S, ta còn viết S ⊃ T (đọc là S chứa T).

- Kí hiệu T ⊄ S để chỉ T không là tập con của S.

Nhận xét:

- Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S.

- Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

• Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

Minh họa T là một tập con của S như sau:

Ví dụ: Cho các tập hợp: T = {2; 3; 5}, S = {2; 3; 5; 7; 9}, M = {2; 3; 4; 5}.

- Tập hợp T là tập con của tập hợp S (do mọi phần tử của T đều thuộc S).

- Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S (do có phần tử 4 thuộc M nhưng không thuộc S).

1.3. Hai tập hợp bằng nhau       

- Hai tập hợp S và T được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của tập hợp S và ngược lại. Kí hiệu là S = T.

- Nếu S ⊂ T và T ⊂ S thì S = T.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S = {n | n là bội chung của 2 và 3; n < 20} và T = {n | n là bội của 6; n < 20}.

Ta có: 2 = 2, 3 = 3

⇒ BCNN(2; 3) = 2.3 = 6

⇒ BC(2; 3) = B(6) ={0; 6; 12; 18}

⇒ S = {0; 6; 12; 18}

Ta có các bội của 6 và nhỏ hơn 20 là: 0; 6; 12; 18.

T = {0; 6; 12; 18}.

Vậy S = T.

2. Các tập hợp số

2.1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

- Tập hợp các số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ....}.

- Tập hợp các số nguyên ℤ gồm các số tự nhiên và số nguyên âm:

ℤ = {...; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}.

- Tập hợp các số hữu tỉ ℚ gồm các số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ , với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.

Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

- Tập hợp các số thực ℝ gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

- Mối quan hệ giữa các tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Ví dụ: Cho tập hợp B = {– 1; 2; 4; 10}.

- Tập hợp B chứa số – 1 không phải là số tự nhiên nên B không là tập con của ℕ.

- Tập hợp B gồm các số nguyên: – 1; 2; 4; 10 nên B là tập con của ℤ.

- Các số nguyên cũng là các số hữu tỉ và cũng là các số thực, nên B cũng là tập con của ℚ và ℝ.

2.2. Các tập con thường dùng của ℝ

- Một số tập con thường dùng của tập số thực ℝ:

+ Khoảng:

$\left(a;b\right)=\left\{x\in ℝ|a<x<b\right\}$

$\left(a;+\infty \right)=\left\{a\in ℝ|x>a\right\}$

$\left(-\infty ;b\right)=\left\{x\in ℝ|x<b\right\}$

$\left(-\infty ;+\infty \right)$

+ Đoạn

$\left[a;b\right]=\left\{x\in ℝ|a\le x\le b\right\}$

+ Nửa khoảng

$\left[a;b\right)=\left\{x\in ℝ|a\le x<b\right\}$

$\left(a;b\right]=\left\{x\in ℝ|a<x\le b\right\}$

$\left[a;+\infty \right)=\left\{x\in ℝ|x\ge a\right\}$

$\left(-\infty ;b\right]=\left\{x\in ℝ|x\le b\right\}$

- Kí hiệu + ∞: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).

- Kí hiệu – ∞: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).

- a, b gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.

Ví dụ:

+ Ta có: 5 < x ≤ 10 thì ta viết x ∈ (5; 10].

+ Ta có: D = {x $\in ℝ$ | x < 3} = (– ∞; 3).

3. Các phép toán trên tập hợp

3.1. Giao của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T gọi là giao của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∩ T.

S ∩ T = {x | x ∈ S và x ∈ T}.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: A = {5; 7; 8} và B = {1; 2; 4; 5; 8}.

Giao của 2 tập hợp trên là tập hợp C = A ∩ B = {5; 8}.

3.2. Hợp của hai tập hợp

- Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S hoặc thuộc tập hợp T gọi là hợp của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∪ T.

S ∪ T = {x | x ∈ S hoặc x ∈ T}.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S = {1; 2; 3; 5} và T = {2; 4; 6; 7}.

Tập hợp là hợp của hai tập hợp trên là K = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

3.3. Hiệu của hai tập hợp

- Hiệu của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T, kí hiệu là S \ T.

S \ T = {x | x ∈ S và x ∉ T}.

- Nếu T ⊂ S thì S \ T được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu C_ST.

Chú ý: .$C_{s}S=\varnothing$

Ví dụ:  Cho các tập hợp: S = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8}; T = {4; 5; 6; 7; 8; 9}; X = {x | x là các số nguyên dương nhỏ hơn 9}. Tìm các tập hợp sau: S \ T; T \ S; X \ S.

Ta có: S \ T = {1; 2; 3};

T \ S = {6; 9}.

Ta lại có: X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Vì mọi phần tử của tập S đều thuộc tập X nên S ⊂ X.

Phần bù của S trong X là X \ S = C_XS = {6}.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1: Mệnh đề

Bài tập cuối chương 1

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn