Trả lời nhanh
Tập xác định là các giá trị x làm biểu thức có nghĩa. Tập giá trị là mọi giá trị y mà hàm số nhận được. Với hàm bậc hai y = ax² + bx + c, hãy tìm đỉnh có x = −b/(2a). Từ đỉnh suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, tập giá trị và các khoảng đồng biến, nghịch biến.
1. Phân biệt bốn khái niệm hay bị lẫn
| Khái niệm | Là gì? | Cách tìm |
|---|---|---|
| Tập xác định D | Tập các giá trị x để f(x) có nghĩa | Đặt điều kiện: mẫu ≠ 0, biểu thức trong căn bậc hai ≥ 0 |
| Tập giá trị T | Tập các giá trị y mà f(x) nhận được khi x chạy trong D | Xét đỉnh, đưa về dạng đơn giản, hoặc coi y là tham số rồi tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm |
| Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) | Giá trị y lớn nhất (nhỏ nhất) mà hàm số đạt được | Đánh giá bất đẳng thức hoặc dùng đỉnh parabol, bảng biến thiên |
| Khoảng biến thiên | Các khoảng mà hàm số đồng biến hoặc nghịch biến | Dùng định nghĩa, đỉnh parabol hoặc đạo hàm (lớp 12) |
Mẹo nhớ: tập xác định nói về x, tập giá trị nói về y. Nhiều bạn mất điểm chỉ vì trả lời nhầm trục.
2. Cách tìm tập xác định
- Phân thức A/B: yêu cầu B ≠ 0.
- Căn bậc hai √A: yêu cầu A ≥ 0. Nếu căn nằm ở mẫu thì yêu cầu A > 0.
- Hàm có nhiều phần: lấy giao của các điều kiện, viết kết quả dưới dạng khoảng hoặc đoạn.
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của y = √(x − 1)/(x − 3).
Điều kiện: x − 1 ≥ 0 và x − 3 ≠ 0, tức x ≥ 1 và x ≠ 3. Vậy D = [1; +∞) \ {3}.
3. Tập giá trị, giá trị lớn nhất và khoảng biến thiên của hàm bậc hai
Ví dụ 2. Cho hàm số y = −x² + 4x + 1. Tìm tập xác định, tập giá trị, giá trị lớn nhất và các khoảng biến thiên.
- Tập xác định: D = ℝ.
- Hệ số a = −1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống, hàm số có giá trị lớn nhất ở đỉnh.
- Hoành độ đỉnh: x = −b/(2a) = −4/(−2) = 2. Tung độ đỉnh: y = −4 + 8 + 1 = 5.
- Giá trị lớn nhất bằng 5, đạt tại x = 2. Tập giá trị T = (−∞; 5].
- Đồng biến trên (−∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞).
Cách viết khác để kiểm tra: y = −(x − 2)² + 5 ≤ 5 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x = 2.
Giá trị lớn nhất trên một đoạn. Cũng với hàm trên, tìm GTLN, GTNN trên [0; 1]. Đoạn [0; 1] nằm trong khoảng đồng biến (−∞; 2) nên hàm tăng từ x = 0 đến x = 1. Do đó GTNN = y(0) = 1 và GTLN = y(1) = −1 + 4 + 1 = 4. Đừng lấy giá trị 5 ở đỉnh, vì x = 2 không thuộc đoạn đang xét.
4. Hàm chứa căn: tìm tập giá trị bằng đánh giá
Ví dụ 3. Cho y = √(4 − x²).
- Điều kiện 4 − x² ≥ 0 nên −2 ≤ x ≤ 2, D = [−2; 2].
- Với x thuộc D thì 0 ≤ 4 − x² ≤ 4, suy ra 0 ≤ y ≤ 2. Vậy T = [0; 2].
- GTLN = 2 tại x = 0. GTNN = 0 tại x = ±2.
- Hàm đồng biến trên [−2; 0] và nghịch biến trên [0; 2]. Đồ thị là nửa đường tròn tâm O, bán kính 2 nằm phía trên trục hoành.
5. Hàm phân thức: tìm tập giá trị bằng cách coi y là tham số
Ví dụ 4. Cho y = (2x + 1)/(x − 1).
- Tập xác định: D = ℝ \ {1}.
- Viết lại y = 2 + 3/(x − 1). Vì 3/(x − 1) luôn khác 0 nên y ≠ 2. Mọi giá trị y khác 2 đều đạt được, vì từ y = 2 + 3/(x − 1) giải ra được x = 1 + 3/(y − 2). Vậy T = ℝ \ {2}.
- Hàm số không có GTLN và GTNN.
- Khi x tăng trong mỗi khoảng của D, 3/(x − 1) giảm. Hàm nghịch biến trên (−∞; 1) và trên (1; +∞). Không được viết “nghịch biến trên D”, vì D không phải một khoảng liền.
6. Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện mẫu ≠ 0 khi có cả căn và phân thức (như ví dụ 1).
- Viết tập giá trị theo x thay vì y.
- Dùng đỉnh parabol để tìm GTLN, GTNN trên đoạn mà không kiểm tra đỉnh có thuộc đoạn hay không.
- Gộp hai khoảng thành “∪” khi nói về tính đơn điệu của hàm phân thức. Phải nêu riêng từng khoảng.
- Dùng dấu ngoặc vuông cho +∞ hoặc −∞. Hai đầu vô cực luôn dùng ngoặc tròn.
7. Bài luyện tập tự giải
- Tìm tập xác định của y = √(x + 2)/(x − 1).
- Cho y = x² − 6x + 5. Tìm tập giá trị, giá trị nhỏ nhất và các khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Tìm tập giá trị của y = √(9 − x²).
Đáp án.
- x + 2 ≥ 0 và x ≠ 1, nên D = [−2; +∞) \ {1}.
- Đỉnh có x = 3, y = 9 − 18 + 5 = −4. Vì a = 1 > 0 nên GTNN = −4 tại x = 3, T = [−4; +∞). Hàm nghịch biến trên (−∞; 3) và đồng biến trên (3; +∞).
- D = [−3; 3], 0 ≤ 9 − x² ≤ 9 nên T = [0; 3].
Lưu ý: các ví dụ trên do thầy cô tự đặt để minh hoạ phương pháp. Nếu đề của bạn khác, hãy áp dụng đúng các bước: đặt điều kiện, tìm đỉnh hoặc đánh giá, rồi kết luận.
Câu hỏi thường gặp
Tập giá trị của hàm số là gì?
Là tập hợp tất cả các giá trị y mà hàm số nhận được khi x chạy khắp tập xác định. Với hàm bậc hai, tập giá trị là nửa khoảng có đầu mút tại tung độ đỉnh.
Cách tìm tập giá trị của hàm bậc hai y = ax² + bx + c?
Tính tung độ đỉnh yI = −Δ/(4a). Nếu a > 0 thì tập giá trị là [yI; +∞), nếu a < 0 thì là (−∞; yI].
Khi nào hàm số không có giá trị lớn nhất?
Khi giá trị của hàm có thể lớn tuỳ ý hoặc không đạt được giá trị chặn trên, ví dụ parabol có a > 0, hay hàm y = (2x + 1)/(x − 1) trên tập xác định.
Khoảng biến thiên của hàm số là gì?
Là các khoảng mà trên đó hàm số đồng biến (đồ thị đi lên) hoặc nghịch biến (đồ thị đi xuống). Với hàm bậc hai, điểm đổi chiều chính là hoành độ đỉnh.