Tứ phân vị Toán 10: giải Thực hành 2 trang 117 CTST

Trả lời nhanh

Để tìm tứ phân vị của mẫu số liệu, em sắp xếp số liệu tăng dần, tìm trung vị Q₂, rồi lấy Q₁ là trung vị của nửa bên trái và Q₃ là trung vị của nửa bên phải (không tính Q₂ nếu cỡ mẫu lẻ). Khoảng tứ phân vị là Δ_Q = Q₃ − Q₁.

Lưu ý: dưới đây là phương pháp giải và các ví dụ do thầy cô tự đặt, áp dụng cho dạng bài “tìm tứ phân vị” ở phần các số đặc trưng của mẫu số liệu (Toán 10 Tập 1, Chân trời sáng tạo). Em thay số liệu trong đề của mình vào đúng các bước là ra đáp số.

Tứ phân vị là gì?

Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số phần tử gần bằng nhau. Có ba giá trị cần nhớ:

Q₁ (tứ phân vị thứ nhất): khoảng 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁.
Q₂ (tứ phân vị thứ hai): chính là trung vị của mẫu.
Q₃ (tứ phân vị thứ ba): khoảng 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃.

Các bước tìm tứ phân vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Tìm trung vị Q₂: nếu n lẻ, lấy số ở giữa; nếu n chẵn, lấy trung bình cộng hai số ở giữa.
Q₁ là trung vị của nửa mẫu bên trái Q₂.
Q₃ là trung vị của nửa mẫu bên phải Q₂.
Nếu n lẻ, số ở giữa (Q₂) không được đưa vào hai nửa.

Ví dụ 1: cỡ mẫu chẵn

Số bài tập một nhóm 8 bạn làm trong tuần: 12, 15, 9, 20, 14, 18, 11, 16. Tìm các tứ phân vị.

Sắp xếp: 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

n = 8 chẵn: Q₂ = (14 + 15) : 2 = 14,5.
Nửa trái: 9, 11, 12, 14 → Q₁ = (11 + 12) : 2 = 11,5.
Nửa phải: 15, 16, 18, 20 → Q₃ = (16 + 18) : 2 = 17.
Khoảng tứ phân vị: Δ_Q = 17 − 11,5 = 5,5.

Biểu đồ hộp trên trục số thể hiện giá trị nhỏ nhất 9, Q1 = 11,5, Q2 = 14,5, Q3 = 17 và giá trị lớn nhất 20 — Vị trí các tứ phân vị của mẫu 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20 trên trục số.

Ví dụ 2: cỡ mẫu lẻ

Mẫu số liệu: 5, 8, 6, 9, 7, 12, 10 (n = 7).

Sắp xếp: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12.

Q₂ = 8 (số thứ 4).
Nửa trái (bỏ 8): 5, 6, 7 → Q₁ = 6.
Nửa phải (bỏ 8): 9, 10, 12 → Q₃ = 10.
Δ_Q = 10 − 6 = 4.

Ví dụ 3: tìm giá trị ngoại lệ

Mẫu số liệu: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 30 (đã sắp xếp, n = 9).

Q₂ = 7. Nửa trái: 2, 4, 4, 5 → Q₁ = (4 + 4) : 2 = 4.
Nửa phải: 8, 9, 12, 30 → Q₃ = (9 + 12) : 2 = 10,5.
Δ_Q = 10,5 − 4 = 6,5.

Một giá trị được coi là ngoại lệ nếu nhỏ hơn Q₁ − 1,5·Δ_Q hoặc lớn hơn Q₃ + 1,5·Δ_Q. Ở đây: Q₁ − 1,5·Δ_Q = 4 − 9,75 = −5,75; Q₃ + 1,5·Δ_Q = 10,5 + 9,75 = 20,25. Vì 30 > 20,25 nên 30 là giá trị ngoại lệ.

Lỗi sai thường gặp

Quên sắp xếp số liệu trước khi tìm trung vị – lỗi mất điểm phổ biến nhất.
Đưa Q₂ vào hai nửa khi n lẻ, làm Q₁, Q₃ bị lệch.
Nhầm Q₁, Q₃ là trung bình cộng của cả mẫu thay vì trung vị của từng nửa.
Tính Δ_Q bằng Q₁ − Q₃ (ra số âm). Khoảng tứ phân vị luôn không âm.

Mẹo nhớ: “Trung vị của cả mẫu → Q₂; trung vị nửa dưới → Q₁; trung vị nửa trên → Q₃“. Chỉ cần thành thạo cách tìm trung vị là làm được cả ba.

Bài luyện tập có đáp án

Bài 1. Tìm Q₁, Q₂, Q₃ và Δ_Q của mẫu: 3, 7, 4, 9, 6, 5.

Đáp án: sắp xếp 3, 4, 5, 6, 7, 9. Q₂ = (5 + 6) : 2 = 5,5; Q₁ = 4; Q₃ = 7; Δ_Q = 3.

Bài 2. Điểm kiểm tra của 10 bạn (thang 25): 14, 22, 17, 19, 25, 16, 21, 18, 20, 23. Tìm các tứ phân vị.

Đáp án: sắp xếp 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25. Q₂ = (19 + 20) : 2 = 19,5; nửa trái 14, 16, 17, 18, 19 → Q₁ = 17; nửa phải 20, 21, 22, 23, 25 → Q₃ = 22; Δ_Q = 5.

Bài 3. Với mẫu ở Bài 2, có giá trị ngoại lệ không?

Đáp án: cận dưới 17 − 7,5 = 9,5; cận trên 22 + 7,5 = 29,5. Mọi giá trị đều nằm trong khoảng này nên không có giá trị ngoại lệ.

Câu hỏi thường gặp

Tứ phân vị Q1, Q2, Q3 tính như thế nào?

Sắp xếp số liệu tăng dần, Q2 là trung vị cả mẫu, Q1 là trung vị nửa dưới và Q3 là trung vị nửa trên. Nếu cỡ mẫu lẻ thì loại Q2 khỏi hai nửa.

Khoảng tứ phân vị dùng để làm gì?

Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu và ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ, nên dùng để so sánh mức độ phân tán và phát hiện giá trị bất thường.

Khi cỡ mẫu lẻ có đưa trung vị vào hai nửa không?

Không. Với SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo, số ở giữa (Q2) được bỏ ra, Q1 và Q3 tính từ hai nửa còn lại.

Làm sao biết một giá trị là ngoại lệ?

Giá trị nhỏ hơn Q1 − 1,5·Δ_Q hoặc lớn hơn Q3 + 1,5·Δ_Q được coi là giá trị ngoại lệ.