Trả lời nhanh
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau. Một hình thang là hình thang cân khi có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc có hai đường chéo bằng nhau. Mẹo tính toán quan trọng: kẻ hai đường cao từ đáy nhỏ, phần thừa mỗi bên ở đáy lớn bằng (đáy lớn − đáy nhỏ) : 2.
A. Bài tập hình thang – hình thang cân có lời giải
Các bài dưới đây đi từ nhận biết đến vận dụng, bám theo chương trình Toán 8 của cả ba bộ sách mới. Khi làm bài, em luôn ghi rõ hai đáy song song và lí do của từng bước.
Bài 1. Tính góc của hình thang
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc A = 65°, góc B = 120°. Tính góc C và góc D.
Lời giải: Vì AB // CD nên hai góc kề một cạnh bên bù nhau (hai góc trong cùng phía): góc A + góc D = 180°, suy ra góc D = 180° − 65° = 115°; góc B + góc C = 180°, suy ra góc C = 180° − 120° = 60°. Kiểm tra: 65° + 120° + 115° + 60° = 360°.
Bài 2. Góc của hình thang cân
Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có góc P = 70°. Tính các góc còn lại.
Lời giải: Hình thang cân có hai góc kề đáy PQ bằng nhau nên góc Q = góc P = 70°. Vì MN // PQ nên góc M = 180° − góc Q = 110°, góc N = 180° − góc P = 110°. Vậy góc Q = 70°, góc M = góc N = 110°.
Bài 3. Hình thang vuông
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc A = 90°, góc C = 55°. Tính góc B và góc D.
Lời giải: Góc D = 180° − góc A = 90° (ABCD là hình thang vuông). Góc B = 180° − góc C = 180° − 55° = 125°.
Bài 4. Tính đường cao và diện tích
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 6 cm, đáy lớn CD = 14 cm, cạnh bên AD = 5 cm. Tính đường cao AH và diện tích hình thang.
Lời giải: Kẻ AH ⊥ CD, BK ⊥ CD. Hai tam giác vuông ADH và BCK có AD = BC, góc D = góc C nên bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra DH = CK. Mà ABKH là hình chữ nhật nên HK = AB = 6 cm. Do đó DH = (14 − 6) : 2 = 4 (cm).
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ADH vuông tại H: AH² = AD² − DH² = 25 − 16 = 9, nên AH = 3 cm.
Diện tích: S = (AB + CD) × AH : 2 = (6 + 14) × 3 : 2 = 30 cm².
Bài 5. Tính chu vi
Hình thang cân ABCD có AB = 8 cm, CD = 18 cm, đường cao 12 cm. Tính chu vi.
Lời giải: Tương tự bài 4, DH = (18 − 8) : 2 = 5 (cm). Cạnh bên AD = √(12² + 5²) = √169 = 13 (cm). Chu vi = 8 + 18 + 13 + 13 = 52 cm.
Bài 6. Chứng minh tứ giác là hình thang cân
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên AB, AC lấy M, N sao cho BM = CN. Chứng minh BMNC là hình thang cân.
Lời giải: Vì AB = AC và BM = CN nên AM = AN, tam giác AMN cân tại A. Suy ra góc AMN = (180° − góc A) : 2 = góc ABC. Hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC, tức BMNC là hình thang. Lại có góc MBC = góc NCB (tam giác ABC cân) nên BMNC là hình thang cân.
Bài 7. Hai đường chéo bằng nhau
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc D = góc C. Chứng minh AC = BD.
Lời giải: Hình thang có hai góc kề đáy CD bằng nhau nên là hình thang cân, suy ra AD = BC. Xét tam giác ADC và BCD: AD = BC, góc ADC = góc BCD, cạnh DC chung. Vậy hai tam giác bằng nhau (c.g.c), suy ra AC = BD.
Bài 8. Giao điểm hai đường chéo
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh OA = OB và OC = OD.
Lời giải: Xét tam giác ABD và BAC: AB chung, AD = BC, BD = AC (tính chất hình thang cân). Do đó hai tam giác bằng nhau (c.c.c), suy ra góc ABD = góc BAC, tam giác OAB cân tại O nên OA = OB. Khi đó OC = AC − OA = BD − OB = OD.
Bài 9. Nhận biết hình thang cân
Hình thang ABCD (AB // CD) có góc A = 110°, góc B = 100° có phải hình thang cân không?
Lời giải: Góc D = 180° − 110° = 70°, góc C = 180° − 100° = 80°. Hai góc kề đáy CD khác nhau (70° ≠ 80°), hai góc kề đáy AB cũng khác nhau, nên ABCD không phải hình thang cân.
Bài 10. Hình thang cân có góc 60°
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có góc D = 60°, AB = 4 cm, AD = 6 cm. Tính CD.
Lời giải: Kẻ AH ⊥ CD. Tam giác ADH vuông tại H có góc D = 60° nên góc DAH = 30°. Cạnh đối diện góc 30° bằng nửa cạnh huyền: DH = AD : 2 = 3 cm. Vậy CD = AB + 2 × DH = 4 + 6 = 10 cm.
B. Lý thuyết hình thang – hình thang cân
1. Định nghĩa
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy (đáy lớn, đáy nhỏ), hai cạnh còn lại là cạnh bên. Đoạn vuông góc kẻ từ một điểm trên đáy này đến đường thẳng chứa đáy kia là đường cao.
- Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông (khi đó có hai góc vuông kề cùng một cạnh bên).
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
2. Tính chất
| Hình | Tính chất về góc | Tính chất về cạnh, đường chéo |
|---|---|---|
| Hình thang | Hai góc kề một cạnh bên bù nhau (tổng 180°) | Hai đáy song song |
| Hình thang cân | Hai góc kề mỗi đáy bằng nhau | Hai cạnh bên bằng nhau; hai đường chéo bằng nhau |
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Chú ý: hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Ví dụ hình bình hành cũng là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng hai góc kề một đáy thường không bằng nhau. Vì vậy không dùng “hai cạnh bên bằng nhau” làm dấu hiệu nhận biết.
4. Ba công thức hay dùng
- Phần chênh ở mỗi bên đáy lớn: DH = CK = (đáy lớn − đáy nhỏ) : 2.
- Đường cao (theo Pythagore): h² = cạnh bên² − DH².
- Diện tích hình thang: S = (đáy lớn + đáy nhỏ) × h : 2.
Bài tập tự luyện có đáp án
- Hình thang cân EFGH (EF // GH) có góc E = 115°. Tính các góc còn lại. Đáp án: góc F = 115°; góc G = góc H = 65°.
- Hình thang cân có hai đáy 10 cm và 20 cm, cạnh bên 13 cm. Tính diện tích. Đáp án: phần chênh 5 cm, đường cao 12 cm, S = (10 + 20) × 12 : 2 = 180 cm².
- Hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. ABCD là hình gì? Đáp án: hình thang cân (dấu hiệu hai đường chéo bằng nhau).
- Hình thang cân có đáy nhỏ 5 cm, cạnh bên 4 cm, góc kề đáy lớn bằng 60°. Tính đáy lớn. Đáp án: phần chênh = 4 : 2 = 2 cm, đáy lớn = 5 + 2 × 2 = 9 cm.
- Tứ giác ABCD có AB // CD, AD = BC nhưng góc D ≠ góc C. ABCD có phải hình thang cân không? Đáp án: không; đó là hình bình hành (trường hợp hai cạnh bên song song).
Lỗi thường gặp khi làm bài hình thang cân
- Nhầm “hai góc kề một cạnh bên” (bù nhau) với “hai góc kề một đáy” (bằng nhau trong hình thang cân).
- Kết luận hình thang cân chỉ vì hai cạnh bên bằng nhau.
- Quên chia đôi khi tính phần chênh ở đáy lớn: phải lấy (đáy lớn − đáy nhỏ) : 2 chứ không phải đáy lớn − đáy nhỏ.
- Không ghi tên hai đáy song song ngay từ đầu, dẫn đến xác định sai cặp góc bằng nhau.
Câu hỏi thường gặp
Hình thang cân là gì?
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Hình thang cân có những tính chất nào?
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau và hai góc kề mỗi đáy bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân là gì?
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc có hai đường chéo bằng nhau thì là hình thang cân.
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có phải hình thang cân không?
Chưa chắc, vì hình bình hành cũng có hai cạnh bên bằng nhau; cần thêm điều kiện về góc hoặc đường chéo.
Cách tính đường cao hình thang cân khi biết hai đáy và cạnh bên?
Tính phần chênh (đáy lớn − đáy nhỏ) : 2, rồi dùng định lí Pythagore: đường cao² = cạnh bên² − phần chênh².