Trả lời nhanh
Để tìm góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) khi SA vuông góc với đáy, em kẻ AK ⊥ BC (K ∈ BC), rồi kẻ AH ⊥ SK. Khi đó AH ⊥ (SBC), nên hình chiếu của SA trên (SBC) là SK và góc cần tìm bằng ∠ASK, với tan∠ASK = AK/SA. Tổng quát, góc giữa đường cao SH và mặt bên (SAB) bằng ∠HSE, trong đó E là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB.
Phương pháp tìm góc giữa đường cao và mặt bên
Bài toán thường gặp: hình chóp có đường cao SH (H là chân đường cao trên mặt đáy), yêu cầu tính góc giữa đường thẳng SH và một mặt bên, ví dụ (SAB). Trường hợp hay gặp nhất là SA vuông góc với đáy, lúc đó đường cao chính là SA và đề hỏi “góc giữa SA và (SBC)”, “góc giữa SA và (SCD)”…
Nhắc lại định nghĩa: góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu vuông góc d’ của nó trên (P). Vì vậy việc chính là tìm được hình chiếu của chân đường cao H lên mặt bên.
Các bước dựng hình
- Bước 1. Trong mặt đáy, kẻ HE ⊥ AB tại E (E là giao tuyến của mặt bên với đáy, tức là cạnh đáy AB).
- Bước 2. Vì AB ⊥ HE và AB ⊥ SH nên AB ⊥ (SHE). Suy ra AB vuông góc với mọi đường nằm trong (SHE).
- Bước 3. Trong mặt phẳng (SHE), kẻ HF ⊥ SE tại F. Do HF ⊥ SE và HF ⊥ AB nên HF ⊥ (SAB). Vậy F là hình chiếu của H trên (SAB) và SF (cũng là SE) là hình chiếu của SH trên (SAB).
- Bước 4. Kết luận: góc (SH, (SAB)) = ∠HSF = ∠HSE. Tính trong tam giác SHE vuông tại H: tan∠HSE = HE/SH.
Thực tế khi làm bài, em không cần tính điểm F; chỉ cần dựng được E và tính độ dài HE, SH là đủ. Hình dưới đây minh họa trường hợp SA ⊥ (ABC), tìm góc giữa SA và (SBC).
Ghi nhớ nhanh
| Tình huống | Điểm E cần dựng | Công thức |
|---|---|---|
| Cạnh đáy (cạnh giao tuyến) vuông góc với cạnh nối tới chân đường cao, ví dụ BC ⊥ AB khi SA ⊥ đáy | E trùng B | tan φ = AB/SA |
| Đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ đáy, mặt (SBC) | E là trung điểm BC | tan φ = (a√3/2)/SA |
| Đáy hình chữ nhật, mặt chứa đường chéo BD | E là chân đường cao từ A của tam giác ABD | AE = AB·AD/BD |
| Hình chóp đều, đường cao SO | E là trung điểm cạnh đáy | tan φ = OE/SO |
Một nhận xét hữu ích: tam giác SHE vuông tại H nên ∠HSE + ∠SEH = 90°. Mà ∠SEH chính là góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy. Do đó góc giữa đường cao và mặt bên luôn phụ với góc giữa mặt bên và đáy. Nếu đề đã cho góc giữa mặt bên và đáy là 60° thì góc giữa đường cao và mặt bên đó bằng 30°.
Trường hợp đặc biệt: nếu H nằm ngay trên cạnh AB (ví dụ SA ⊥ đáy và xét mặt (SAB) hay (SAD)) thì SH nằm trong mặt bên, góc bằng 0°.
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Góc giữa SA và (SBC), đáy tam giác đều
Đề: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA ⊥ (ABC) và SA = a. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC).
Lời giải: Gọi K là trung điểm BC. Vì tam giác ABC đều nên AK ⊥ BC. Lại có SA ⊥ BC (do SA ⊥ đáy), suy ra BC ⊥ (SAK). Kẻ AH ⊥ SK tại H thì AH ⊥ BC, nên AH ⊥ (SBC). Vậy hình chiếu của SA trên (SBC) là SH, tức là SK, và góc cần tìm là ∠ASK.
Đường cao tam giác đều cạnh 2a: AK = 2a·√3/2 = a√3. Trong tam giác SAK vuông tại A: tan∠ASK = AK/SA = a√3/a = √3, suy ra ∠ASK = 60°.
Đáp số: góc (SA, (SBC)) = 60°.
Ví dụ 2: Đáy hình vuông, ba mặt bên khác nhau
Đề: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính góc giữa SA với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SBD) và (SAC).
Lời giải:
- Mặt (SBC): BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB). Kẻ AM ⊥ SB thì AM ⊥ (SBC). Góc cần tìm là ∠ASB với tan∠ASB = AB/SA = 1, nên góc bằng 45°.
- Mặt (SCD): tương tự, CD ⊥ (SAD), góc cần tìm là ∠ASD, tan∠ASD = AD/SA = 1, góc bằng 45°.
- Mặt (SBD): gọi O là tâm hình vuông, AO ⊥ BD nên E trùng O. AO = a√2/2. tan∠ASO = AO/SA = √2/2, góc xấp xỉ 35,26°.
- Mặt (SAC): SA nằm trong (SAC) nên góc bằng 0°.
Ví dụ 3: Đáy hình chữ nhật, mặt chứa đường chéo
Đề: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√3, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa SA và (SBD).
Lời giải: Kẻ AE ⊥ BD tại E, kẻ AF ⊥ SE tại F. Vì BD ⊥ AE và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAE), suy ra BD ⊥ AF; kết hợp AF ⊥ SE được AF ⊥ (SBD). Góc cần tìm là ∠ASE.
Ta có BD = √(a² + 3a²) = 2a. Trong tam giác vuông ABD: AE = AB·AD/BD = a·a√3/(2a) = a√3/2. Do đó tan∠ASE = AE/SA = √3/2, góc xấp xỉ 40,89°.
Em có thể kiểm tra thêm: góc giữa SA và (SBC) có tan = AB/SA = 1 (45°), góc giữa SA và (SCD) có tan = AD/SA = √3 (60°).
Ví dụ 4: Hình chóp tứ giác đều
Đề: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, O là tâm đáy và SO = a√3/2. Tính góc giữa SO và mặt phẳng (SCD).
Lời giải: Gọi M là trung điểm CD. Vì O là tâm hình vuông nên OM ⊥ CD và OM = a/2. Lại có SO ⊥ CD, nên CD ⊥ (SOM). Kẻ OF ⊥ SM thì OF ⊥ (SCD). Góc cần tìm là ∠OSM.
tan∠OSM = OM/SO = (a/2)/(a√3/2) = 1/√3, suy ra ∠OSM = 30°. Nhận xét: góc giữa (SCD) và đáy là ∠SMO = 90° − 30° = 60°, đúng với tính chất phụ nhau đã nêu.
Ví dụ 5: Tứ diện đều
Đề: Cho tứ diện đều S.ABC cạnh a, O là trọng tâm tam giác ABC. Tính sin của góc giữa đường cao SO và mặt phẳng (SBC).
Lời giải: Gọi M là trung điểm BC. Do tam giác ABC đều nên O nằm trên AM, OM ⊥ BC và OM = AM/3 = a√3/6. Vì BC ⊥ OM, BC ⊥ SO nên BC ⊥ (SOM); kẻ OF ⊥ SM thì OF ⊥ (SBC). Góc cần tìm là φ = ∠OSM.
SM là đường cao của tam giác đều SBC nên SM = a√3/2. Trong tam giác SOM vuông tại O: sin φ = OM/SM = (a√3/6)/(a√3/2) = 1/3. Suy ra φ xấp xỉ 19,47° (và tan φ = √2/4).
Ví dụ 6: Đường cao của hình lăng trụ
Đề: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC và A’G = a. Tính tan góc giữa A’G và mặt phẳng (ABB’A’).
Lời giải: Mặt (ABB’A’) chính là mặt phẳng (A’AB). Gọi E là trung điểm AB; do tam giác đều nên G nằm trên CE và GE ⊥ AB, GE = CE/3 = a√3/6. Vì AB ⊥ GE và AB ⊥ A’G nên AB ⊥ (A’GE); kẻ GF ⊥ A’E thì GF ⊥ (ABB’A’). Góc cần tìm là ∠GA’E.
tan∠GA’E = GE/A’G = (a√3/6)/a = √3/6, góc xấp xỉ 16,10°.
Lỗi thường gặp khi tính góc giữa SA và (SBC)
- Nhầm góc cần tìm với ∠SKA. ∠SKA là góc giữa mặt (SBC) và đáy, không phải góc giữa SA và (SBC). Hai góc này phụ nhau, nên nếu lấy nhầm em sẽ ra 30° thay vì 60° ở Ví dụ 1.
- Lấy tỉ số ngược. Góc nằm tại đỉnh S, nên cạnh đối là AK (hoặc HE), cạnh kề là SA. Công thức đúng là tan = AK/SA, không phải SA/AK.
- Chọn sai điểm K. K phải là chân đường vuông góc từ A xuống BC, không phải lúc nào cũng là trung điểm. Chỉ khi tam giác ABC cân tại A (hoặc đều) thì K mới là trung điểm BC; nếu tam giác vuông tại B thì K trùng B.
- Quên chứng minh AH ⊥ (SBC). Bài tự luận cần nêu rõ BC ⊥ (SAK) rồi mới suy ra AH ⊥ (SBC), nếu không sẽ bị trừ điểm lập luận.
Mẹo kiểm tra: độ dài d(A, (SBC)) = AH = SA·AK/√(SA² + AK²). Nếu em tính khoảng cách đúng thì sin góc cần tìm bằng AH/SA, có thể dùng để đối chiếu kết quả.
Bài tập tự luyện có đáp án
- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√3, SA ⊥ (ABC), SA = a. Tính góc giữa SA và (SBC).
Đáp án: BC ⊥ (SAB) nên góc là ∠ASB, tan = AB/SA = 1, góc 45°. - Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Tính tan góc giữa SA và (SBC).
Đáp án: BC = a√5, AK = AB·AC/BC = 2a/√5, tan = 2/√5 = 2√5/5. - Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, chiều cao SO = a. Tính góc giữa SO và (SAB).
Đáp án: OM = a (M là trung điểm AB), tan = OM/SO = 1, góc 45°. - Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy và SC tạo với đáy góc 45°. Tính tan góc giữa SA và (SBC).
Đáp án: SA = AC = a√2, tan = AB/SA = √2/2. - Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ đáy và góc giữa SA với (SBC) bằng 30°. Tính SA.
Đáp án: AK = a√3/2, SA = AK/tan 30° = (a√3/2)·√3 = 3a/2. - Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông, SA ⊥ đáy. Biết mặt (SBC) tạo với đáy góc 60°. Tính góc giữa SA và (SBC).
Đáp án: hai góc phụ nhau nên góc cần tìm là 30°.
Khi luyện tập, em hãy vẽ hình trước, đánh dấu rõ chân đường cao và giao tuyến của mặt bên với đáy, rồi áp dụng đúng bốn bước dựng ở trên. Làm quen được quy trình này, các câu hỏi về góc giữa đường cao và mặt bên trong đề thi chỉ mất vài phút.
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa SA và (SBC) bằng góc nào?
Khi SA vuông góc với đáy, kẻ AK ⊥ BC rồi AH ⊥ SK thì AH ⊥ (SBC). Góc giữa SA và (SBC) bằng góc ASK, tính bằng tan∠ASK = AK/SA.
Góc giữa SA và (SBC) khác gì góc giữa (SBC) và đáy?
Góc giữa (SBC) và đáy là góc SKA, còn góc giữa SA và (SBC) là góc ASK. Hai góc này cùng nằm trong tam giác SAK vuông tại A nên phụ nhau, tổng bằng 90°.
Khi nào góc giữa SA và mặt bên bằng 0°?
Khi SA nằm trong mặt bên đó, ví dụ SA ⊥ đáy và xét mặt (SAB), (SAC) hoặc (SAD). Khi đó đường thẳng nằm trong mặt phẳng nên góc bằng 0°.
Đáy tam giác vuông tại B thì góc giữa SA và (SBC) tính thế nào?
Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), điểm K trùng B. Góc cần tìm là góc ASB với tan∠ASB = AB/SA.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng học ở lớp mấy?
Nội dung này thuộc chương Quan hệ vuông góc trong không gian của Toán 11 và được dùng nhiều khi ôn thi tốt nghiệp THPT.