Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, độ dài vectơ AB + AC bằng bao nhiêu?
Lớp 10Toán

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, độ dài vectơ AB + AC bằng bao nhiêu?

Trả lời nhanh

Với tam giác ABC đều cạnh 2a, độ dài vectơ AB + AC bằng 2a√3. Vì tổng hai vectơ chung gốc A là vectơ AD, với D đối xứng với A qua trung điểm M của BC, nên độ dài bằng 2·AM = 2·a√3. Nếu đề là hiệu AB − AC thì kết quả là |CB| = 2a.

Đề bài và cách hiểu đề

Đề thường gặp: “Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Khi đó độ dài vectơ AB + AC bằng bao nhiêu?”. Đây là dạng tính độ dài tổng của hai vectơ chung gốc, kiến thức trong chương Vectơ lớp 10.

Dấu cộng hay trừ quyết định kết quả, nên em đọc kỹ đề. Phần cuối bài có đáp số cho cả hai trường hợp.

Cách 1: Dùng quy tắc hình bình hành

Gọi M là trung điểm của BC. Lấy D sao cho ABDC là hình bình hành. Khi đó AB + AC = AD, và M cũng là trung điểm của AD.

Tam giác đều ABC, trung điểm M của BC và điểm D sao cho ABDC là hình bình hành, vectơ AD bằng AB + AC
AB + AC = AD, với D đối xứng với A qua trung điểm M của BC
  1. Tam giác ABC đều cạnh 2a nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao.
  2. AM = 2a·√3/2 = a√3.
  3. AD = 2·AM = 2a√3.

Vậy |AB + AC| = AD = 2a√3.

Cách 2: Dùng tích vô hướng

Bình phương độ dài tổng:

|AB + AC|2 = AB2 + AC2 + 2·AB·AC·cos 60° = 4a2 + 4a2 + 2·2a·2a·(1/2) = 12a2.

Suy ra |AB + AC| = √(12a2) = 2a√3. Hai cách cho cùng kết quả.

Lưu ý: góc giữa hai vectơ AB và AC chung gốc A là góc BAC = 60°. Em đừng lấy góc giữa AB và CA, vì góc đó là 120°.

Nếu đề là hiệu AB − AC

Theo quy tắc trừ, AB − AC = CB. Do đó |AB − AC| = CB = 2a. Kết quả này không cần tính trung tuyến.

Biểu thức Vectơ kết quả Độ dài
AB + AC AD (D đối xứng A qua M) 2a√3
AB − AC CB 2a

Lỗi sai thường gặp

  • Cộng độ dài hai cạnh: viết |AB + AC| = 2a + 2a = 4a. Cách này chỉ đúng khi hai vectơ cùng hướng, còn ở đây chúng tạo góc 60°.
  • Quên nhân đôi trung tuyến: dừng ở AM = a√3 và kết luận |AB + AC| = a√3. Thực ra AB + AC = 2AM.
  • Nhầm công thức đường cao: đường cao tam giác đều cạnh x là x√3/2. Với x = 2a ta được a√3, không phải 2a√3.

Mẹo nhớ: với tam giác đều cạnh x, |AB + AC| = x√3 và |AB − AC| = x.

Bài luyện tập

  1. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính |AB + AC|.
    Đáp án: a√3.
  2. Cho tam giác ABC đều cạnh 4a. Tính |AB + AC| và |AB − AC|.
    Đáp án: |AB + AC| = 4a√3 và |AB − AC| = 4a.
  3. Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Tính |AB + BC|.
    Gợi ý: AB + BC = AC.
    Đáp án: 2a.

Kết luận

Tam giác ABC đều cạnh 2a có |AB + AC| = 2a√3 và |AB − AC| = 2a. Khi gặp tổng hai vectơ chung gốc, em hãy nghĩ ngay đến hình bình hành và trung điểm của cạnh đối diện.

Câu hỏi thường gặp

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a thì |AB + AC| bằng bao nhiêu?

Bằng 2a√3. Vectơ AB + AC = AD với D đối xứng A qua trung điểm M của BC, mà AM = a√3 nên AD = 2a√3.

Độ dài vectơ AB − AC của tam giác đều cạnh 2a là bao nhiêu?

Bằng 2a, vì AB − AC = CB và cạnh CB dài 2a.

Vì sao |AB + AC| không bằng AB + AC = 4a?

Độ dài của tổng hai vectơ chỉ bằng tổng hai độ dài khi hai vectơ cùng hướng. Ở đây AB và AC tạo góc 60° nên phải dùng quy tắc hình bình hành hoặc tích vô hướng.

Có công thức nhanh cho tam giác đều cạnh x không?

Có. |AB + AC| = x√3 và |AB − AC| = x. Với x = 2a ta được 2a√3 và 2a.

Bài học liên quan