Trả lời nhanh
Mệnh đề đúng là a2 = b2 + c2 − 2bc·cosA. Đây là định lí côsin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c. Cạnh đối diện góc A bằng tổng bình phương hai cạnh kề trừ hai lần tích hai cạnh kề nhân côsin góc xen giữa. Các dạng thiếu hệ số 2, đổi dấu hoặc thay cosA bằng sinA đều sai.
Đề bài và cách hiểu
Đề hỏi mệnh đề nào đúng khi xét tam giác ABC tuỳ ý có BC = a, AC = b, AB = c. Các phương án thường là những biến thể của công thức a2 = b2 + c2 − …·cosA. Vì không phải bản nào cũng giống nhau về chữ, bạn hãy nhớ đúng công thức rồi đối chiếu từng phương án.
Định lí côsin
Trong tam giác ABC, với a = BC, b = CA, c = AB:
- a2 = b2 + c2 − 2bc·cosA
- b2 = a2 + c2 − 2ac·cosB
- c2 = a2 + b2 − 2ab·cosC
Hệ quả: cosA = (b2 + c2 − a2) / (2bc). Từ đó biết ba cạnh là tìm được các góc.
Vì sao công thức có dạng này?
Đặt A ở gốc toạ độ, AB nằm trên trục hoành: B(c; 0), C(b·cosA; b·sinA). Khi đó:
BC2 = (b·cosA − c)2 + (b·sinA)2 = b2(cos2A + sin2A) − 2bc·cosA + c2 = b2 + c2 − 2bc·cosA.
Hệ số 2 xuất hiện từ việc khai triển bình phương một hiệu, nên không thể bỏ.
Loại trừ các biến thể sai
Dùng một tam giác cụ thể để thử: b = 5, c = 8, A = 60°. Công thức đúng cho a2 = 25 + 64 − 2·5·8·0,5 = 49, tức a = 7.
| Biến thể | Giá trị a2 khi thử | Kết luận |
|---|---|---|
| a2 = b2 + c2 − bc·cosA (thiếu số 2) | 89 − 20 = 69 | Sai |
| a2 = b2 + c2 + 2bc·cosA (sai dấu) | 89 + 40 = 129 | Sai |
| a2 = b2 + c2 − 2bc·sinA (nhầm sin) | ≈ 89 − 69,3 = 19,7 | Sai |
| a2 = b2 + c2 − 2bc·cosA | 49 | Đúng |
Một cách thử nhanh khác: cho A = 90°, cosA = 0 thì công thức phải trở về định lí Pythagore a2 = b2 + c2. Dạng dùng sinA không làm được điều này vì sin90° = 1.
Mẹo nhớ
- Cạnh bên trái là cạnh đối diện góc ở vế phải: a đi với A, b đi với B, c đi với C.
- Hai cạnh còn lại xuất hiện trong b2 + c2 và trong tích 2bc.
- Nghĩ đến Pythagore “bị trừ đi một lượng hiệu chỉnh”: góc nhọn thì a2 < b2 + c2, góc tù thì a2 > b2 + c2.
Lỗi sai thường gặp
- Quên hệ số 2 trước bc.
- Viết dấu + khi góc nhọn; chỉ khi cosA âm (góc tù) thì số hạng −2bc·cosA mới trở thành dương.
- Ghép nhầm cạnh với góc, ví dụ dùng a2 nhưng lại nhân cosB.
Bài luyện tập
- Tam giác ABC có b = 2, c = 3, A = 120°. Tính a.
Đáp án: a2 = 4 + 9 − 2·2·3·(−1/2) = 13 + 6 = 19, nên a = √19. - Tam giác ABC có a = 7, b = 5, c = 8. Tính góc A.
Đáp án: cosA = (25 + 64 − 49)/(2·5·8) = 40/80 = 1/2, nên A = 60°. - Tam giác ABC có b = 3, c = 4, A = 90°. Tính a bằng định lí côsin.
Đáp án: a2 = 9 + 16 − 0 = 25, nên a = 5.
Ba bài trên có số liệu tự đặt để bạn luyện cách thế và chú ý dấu của cosA.
Câu hỏi thường gặp
Định lí côsin trong tam giác ABC viết thế nào?
Với a = BC, b = CA, c = AB thì a² = b² + c² − 2bc·cosA. Tương tự b² = a² + c² − 2ac·cosB và c² = a² + b² − 2ab·cosC.
Khi nào định lí côsin trở thành định lí Pythagore?
Khi góc A = 90° thì cosA = 0, công thức trở thành a² = b² + c², đúng là định lí Pythagore. Vì vậy Pythagore là trường hợp riêng của định lí côsin.
Biết ba cạnh thì tính góc A bằng công thức nào?
Dùng hệ quả cosA = (b² + c² − a²)/(2bc), sau đó suy ra số đo góc A bằng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác.
Vì sao không dùng sinA trong công thức tính cạnh a ở dạng này?
Công thức được suy ra từ toạ độ điểm C(b·cosA; b·sinA), phần sin bình phương kết hợp với cos bình phương cho 1, chỉ còn lại số hạng −2bc·cosA.