Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-1;5), B(5;-2), trọng tâm O: tìm C
Lớp 10Toán

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-1;5), B(5;-2), trọng tâm O: tìm C

Trả lời nhanh

Tọa độ điểm C là C(-4; -3). Vì G(0;0) là trọng tâm nên xA + xB + xC = 3xG = 0 và yA + yB + yC = 3yG = 0. Suy ra xC = −(−1) − 5 = −4 và yC = −5 − (−2) = −3.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−1; 5), B(5; −2) và trọng tâm là gốc tọa độ O. Tọa độ điểm C là gì?

Đây là dạng đề trắc nghiệm quen thuộc ở chương vectơ và tọa độ. Đáp án đúng của bài này là C(−4; −3), nên nếu đề cho 4 phương án, em chỉ cần chọn phương án có đúng cặp số này.

Kiến thức cần nhớ

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tọa độ G là trung bình cộng tọa độ ba đỉnh:

  • xG = (xA + xB + xC) / 3
  • yG = (yA + yB + yC) / 3

Mẹo nhớ: “trọng tâm là điểm cân bằng của ba đỉnh”, nên toạ độ của nó là số trung bình. Khi biết G và hai đỉnh, ta đảo công thức để tìm đỉnh còn lại:

xC = 3xG − xA − xB; yC = 3yG − yA − yB.

Lời giải chi tiết

Trọng tâm là gốc tọa độ nên G(0; 0).

  1. Hoành độ: 0 = (−1 + 5 + xC) / 3 ⇒ 4 + xC = 0 ⇒ xC = −4.
  2. Tung độ: 0 = (5 + (−2) + yC) / 3 ⇒ 3 + yC = 0 ⇒ yC = −3.

Vậy C(−4; −3).

Tam giác ABC với A(-1;5), B(5;-2), C(-4;-3) trong hệ trục Oxy, trọng tâm trùng gốc tọa độ O
Tam giác ABC có trọng tâm G trùng gốc tọa độ O; O nằm trên trung tuyến AM và chia AM theo tỉ lệ 2 : 1.

Cách kiểm tra lại kết quả

Cách 1 – cộng lại. Tổng hoành độ: −1 + 5 + (−4) = 0. Tổng tung độ: 5 + (−2) + (−3) = 0. Cả hai bằng 0 nên trung bình cộng đúng là (0; 0).

Cách 2 – dùng trung tuyến. Trung điểm M của BC là M((5 − 4)/2; (−2 − 3)/2) = M(0,5; −2,5). Ta có vectơ AG = (1; −5) và vectơ GM = (0,5; −2,5). Rõ ràng AG = 2·GM, đúng tính chất trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 tính từ đỉnh.

Lỗi sai thường gặp

  • Quên nhân 3: viết xC = xG − xA − xB. Đúng phải là 3xG. Ở bài này G = O nên lỗi này không lộ ra, nhưng sẽ sai khi G khác gốc tọa độ.
  • Sai dấu khi A có hoành độ âm: −xA = −(−1) = +1, không phải −1. Nhiều bạn chọn nhầm C(−6; −3) vì sai bước này.
  • Nhầm với trung điểm: trung điểm chia cho 2, trọng tâm chia cho 3.
  • Đọc nhầm đề: “trọng tâm là gốc tọa độ” nghĩa là G(0; 0), chứ không phải O là trung điểm.

Bài luyện tập

  1. Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(−4; 1) và trọng tâm G(1; −1). Tìm tọa độ C.
    Đáp án: xC = 3·1 − 2 − (−4) = 5; yC = 3·(−1) − 3 − 1 = −7. Vậy C(5; −7).
  2. Cho tam giác ABC có A(3; −1), B(1; 4) và trọng tâm G(2; 1). Tìm tọa độ C.
    Đáp án: xC = 6 − 3 − 1 = 2; yC = 3 − (−1) − 4 = 0. Vậy C(2; 0).
  3. Cho B(5; −2), C(−4; −3) và gốc O là trọng tâm tam giác ABC. Tìm A.
    Đáp án: xA = 0 − 5 + 4 = −1; yA = 0 + 2 + 3 = 5. Vậy A(−1; 5), khớp với đề gốc.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tìm tọa độ đỉnh C khi biết A, B và trọng tâm G là gì?

x_C = 3x_G − x_A − x_B và y_C = 3y_G − y_A − y_B. Công thức này suy ra từ x_G = (x_A + x_B + x_C)/3 và y_G = (y_A + y_B + y_C)/3.

Với A(-1;5), B(5;-2), trọng tâm O thì C có tọa độ nào?

C(-4; -3). Tổng hoành độ ba đỉnh bằng -1 + 5 - 4 = 0 và tổng tung độ bằng 5 - 2 - 3 = 0 nên trọng tâm đúng là gốc tọa độ.

Trọng tâm khác trung điểm ở điểm nào?

Trung điểm của đoạn thẳng lấy trung bình cộng hai đầu mút (chia 2). Trọng tâm tam giác lấy trung bình cộng ba đỉnh (chia 3).

Làm sao kiểm tra nhanh đáp số?

Cộng tọa độ ba đỉnh rồi chia 3, kết quả phải trùng với tọa độ trọng tâm đề cho. Với trọng tâm là gốc O, tổng hoành độ và tổng tung độ đều phải bằng 0.

Bài học liên quan