Trả lời nhanh
Để f(x) = (m − 2)x² − (2m − 3)x + 5m − 3 là tam thức bậc hai có nghiệm, cần m ≠ 2 và Δ = −16m² + 40m − 15 ≥ 0. Giải ra (5 − √10)/4 ≤ m ≤ (5 + √10)/4. Vì m = 2 nằm trong đoạn này nên phải loại. Đáp số: m ∈ [(5 − √10)/4 ; (5 + √10)/4] và m ≠ 2.
Lưu ý: tên bài trên đường dẫn viết gọn nên tôi hiểu đề là f(x) = (m − 2)x² − (2m − 3)x + 5m − 3. Dấu của hệ số b không ảnh hưởng đến Δ vì Δ chỉ chứa b². Nếu đề của bạn khác ở hệ số khác, hãy làm đúng các bước dưới đây rồi thay số của mình vào.
Hiểu đề: “tam thức bậc hai có nghiệm” cần hai điều kiện
- Điều kiện 1 – là tam thức bậc hai: hệ số của x² phải khác 0, tức a = m − 2 ≠ 0, nên m ≠ 2.
- Điều kiện 2 – có nghiệm: biệt thức Δ = b² − 4ac ≥ 0 (gồm cả nghiệm kép khi Δ = 0).
Đây là chỗ nhiều bạn bỏ sót điều kiện 1. Nếu m = 2 thì f(x) chỉ còn bậc nhất, không còn là tam thức bậc hai nữa.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Xác định hệ số: a = m − 2; b = −(2m − 3); c = 5m − 3.
Bước 2. Tính Δ:
Δ = (2m − 3)² − 4(m − 2)(5m − 3)
= 4m² − 12m + 9 − 4(5m² − 13m + 6)
= 4m² − 12m + 9 − 20m² + 52m − 24
= −16m² + 40m − 15.
Bước 3. Giải Δ ≥ 0, tức 16m² − 40m + 15 ≤ 0.
Biệt thức của vế trái: 40² − 4·16·15 = 1600 − 960 = 640 = (8√10)². Hai nghiệm: m = (40 ± 8√10)/32 = (5 ± √10)/4. Hệ số 16 dương nên tam thức ≤ 0 nằm giữa hai nghiệm:
(5 − √10)/4 ≤ m ≤ (5 + √10)/4 (xấp xỉ 0,46 ≤ m ≤ 2,04).
Bước 4. Kết hợp m ≠ 2. Vì 0,46 < 2 < 2,04 nên m = 2 thuộc đoạn trên và phải bỏ đi.
Kết luận: m ∈ [(5 − √10)/4 ; 2) ∪ (2 ; (5 + √10)/4].
Kiểm tra lại bằng giá trị cụ thể
| Giá trị m | Δ | Kết luận |
|---|---|---|
| m = 1 | −16 + 40 − 15 = 9 > 0 | f(x) = −x² + x + 2, nghiệm x = −1 và x = 2 (đúng) |
| m = 2 | −64 + 80 − 15 = 1 > 0 | Không là tam thức bậc hai, loại |
| m = 3 | −144 + 120 − 15 = −39 < 0 | Vô nghiệm (đúng, vì 3 > 2,04) |
Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện a ≠ 0, dẫn đến giữ lại m = 2.
- Khai triển sai 4(m − 2)(5m − 3): nhớ (m − 2)(5m − 3) = 5m² − 13m + 6, không phải 5m² − 9m + 6.
- Viết nhầm chiều bất đẳng thức: −16m² + 40m − 15 ≥ 0 đổi dấu hai vế thành 16m² − 40m + 15 ≤ 0 (đổi chiều).
- Lấy “có nghiệm” là Δ > 0. Có nghiệm gồm cả Δ = 0 (nghiệm kép); Δ > 0 chỉ dành cho “hai nghiệm phân biệt”.
Mẹo nhớ
Gặp “tìm m để … là tam thức bậc hai có nghiệm”, hãy ghi sẵn hai dòng: a ≠ 0 và Δ ≥ 0. Giải từng dòng rồi lấy giao. Với bài có m ở cả a lẫn Δ, luôn kiểm tra xem giá trị làm a = 0 có nằm trong tập nghiệm của Δ hay không.
Bài luyện tập
- Tìm m để g(x) = (m + 1)x² − 2mx + m − 2 là tam thức bậc hai có nghiệm.
Đáp án: Δ’ = m² − (m + 1)(m − 2) = m + 2 ≥ 0 nên m ≥ −2, và m ≠ −1. Vậy m ≥ −2, m ≠ −1. - Tìm m để h(x) = mx² − 2(m − 1)x + m + 2 là tam thức bậc hai có nghiệm.
Đáp án: Δ’ = (m − 1)² − m(m + 2) = 1 − 4m ≥ 0 nên m ≤ 1/4, và m ≠ 0. Vậy m ≤ 1/4, m ≠ 0. - Với f(x) ở đầu bài, tìm m để f(x) vô nghiệm.
Đáp án: Δ < 0 nên m < (5 − √10)/4 hoặc m > (5 + √10)/4 (m = 2 đã nằm ngoài khoảng này nên không cần loại).
Câu hỏi thường gặp
Tam thức bậc hai có nghiệm khi nào?
Khi hệ số a ≠ 0 và biệt thức Δ = b² − 4ac ≥ 0. Δ = 0 cho nghiệm kép, Δ > 0 cho hai nghiệm phân biệt.
Vì sao phải loại m = 2 trong bài này?
Khi m = 2 thì hệ số của x² bằng 0 nên f(x) không còn là tam thức bậc hai, dù Δ khi đó vẫn dương (Δ = 1).
Có thể dùng Δ' (delta phẩy) không?
Được, nếu hệ số b chẵn. Trong bài này b = −(2m − 3) không có dạng 2b' đẹp nên dùng Δ cho gọn.
Nếu đề của em có hệ số khác thì làm thế nào?
Làm đúng quy trình: đặt a ≠ 0, tính Δ theo m, giải Δ ≥ 0 rồi lấy giao với điều kiện của a.