Trả lời nhanh
Mệnh đề “Các số nguyên tố đều là số lẻ” là mệnh đề sai. Số 2 là số nguyên tố (chỉ có hai ước là 1 và 2) nhưng 2 là số chẵn. Chỉ cần một ví dụ như vậy là đủ để bác bỏ một mệnh đề có dạng “mọi…”. Mệnh đề đúng là: “Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ”.
Đề bài và hướng suy nghĩ
Đề yêu cầu: xác định tính đúng sai của mệnh đề “Các số nguyên tố đều là số lẻ”. Câu này có nghĩa là “với mọi số nguyên tố n, n là số lẻ”. Đây là mệnh đề chứa kí hiệu “với mọi” (∀) dù đề viết bằng lời.
Muốn kết luận mệnh đề dạng “với mọi” là đúng, ta phải chứng minh cho mọi trường hợp. Muốn kết luận nó sai, ta chỉ cần tìm một phản ví dụ. Vì vậy ta thử các số nguyên tố nhỏ nhất trước.
Lời giải
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó.
- Số 2 có đúng hai ước là 1 và 2 nên 2 là số nguyên tố.
- Số 2 chia hết cho 2 nên 2 là số chẵn, không phải số lẻ.
Vậy 2 là một phản ví dụ, nên mệnh đề “Các số nguyên tố đều là số lẻ” là mệnh đề sai.
Vì sao 2 là ngoại lệ duy nhất?
Giả sử p là số chẵn và p > 2. Khi đó p chia hết cho 1, 2 và p, tức là có ít nhất 3 ước phân biệt (vì p ≠ 2). Như vậy p là hợp số, không thể là số nguyên tố.
Suy ra: số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Mọi số nguyên tố khác như 3, 5, 7, 11, 13… đều lẻ. Đây chính là cơ sở để phát biểu lại mệnh đề cho đúng.
Phát biểu đúng và mệnh đề phủ định
| Mệnh đề | Đúng/Sai | Lý do |
|---|---|---|
| Mọi số nguyên tố đều là số lẻ | Sai | Phản ví dụ: 2 |
| Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ | Đúng | Số chẵn lớn hơn 2 là hợp số |
| Tồn tại số nguyên tố chẵn (mệnh đề phủ định) | Đúng | Số 2 |
Cách lập phủ định: đổi “với mọi” thành “tồn tại” và phủ định phần tính chất (“lẻ” thành “không lẻ”, tức “chẵn”). Một mệnh đề và phủ định của nó luôn có tính đúng sai trái ngược nhau. Ở đây mệnh đề gốc sai nên phủ định đúng.
Lỗi sai thường gặp
- Thử vài số rồi kết luận đúng. Thử 3, 5, 7 đều lẻ nhưng bỏ sót số 2. Với mệnh đề “mọi”, thử nhiều ví dụ vẫn không chứng minh được.
- Nghĩ 1 là số nguyên tố. Số 1 chỉ có một ước nên không phải số nguyên tố.
- Nhầm chiều “lẻ ⇒ nguyên tố”. Số nguyên tố lớn hơn 2 thì lẻ, nhưng số lẻ chưa chắc là số nguyên tố (ví dụ 9 = 3·3).
Mẹo nhớ: “Số 2 – số nguyên tố bé nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất.” Thấy câu “tất cả số nguyên tố…” liên quan đến chẵn/lẻ, hãy kiểm tra ngay số 2.
Bài luyện tập
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và viết mệnh đề phủ định:
- Mọi số lẻ đều là số nguyên tố.
- Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5.
- Tổng của hai số nguyên tố bất kì là số chẵn.
Đáp án:
- Sai, phản ví dụ 9 là số lẻ nhưng chia hết cho 3. Phủ định: “Tồn tại số lẻ không là số nguyên tố” (đúng).
- Đúng, đó là số 5 (ước chỉ gồm 1 và 5). Phủ định: “Mọi số nguyên tố đều không chia hết cho 5” (sai).
- Sai, phản ví dụ 2 + 3 = 5 là số lẻ. Phủ định: “Tồn tại hai số nguyên tố có tổng là số lẻ” (đúng).
Tóm tắt
Mệnh đề “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ” sai vì có phản ví dụ n = 2. Phát biểu đúng là “Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ”. Khi gặp mệnh đề dạng “với mọi”, hãy tìm phản ví dụ trước.
Câu hỏi thường gặp
Mọi số nguyên tố đều là số lẻ đúng hay sai?
Sai. Số 2 là số nguyên tố nhưng là số chẵn nên là phản ví dụ của mệnh đề.
Số nguyên tố chẵn duy nhất là số nào?
Là số 2. Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có ước 1, 2 và chính nó nên là hợp số.
Mệnh đề phủ định của "Mọi số nguyên tố đều là số lẻ" là gì?
Là "Tồn tại số nguyên tố không phải là số lẻ" (tức là số nguyên tố chẵn). Mệnh đề này đúng vì có số 2.
Số lẻ có phải luôn là số nguyên tố không?
Không. Ví dụ 9 là số lẻ nhưng chia hết cho 3 nên là hợp số.