Giải SGK Toán 10 Bài 2 Kết nối tri thức: Tập hợp và các phép toán

Cần nhớ gì trước khi làm bài 2?

Hầu hết bài tập đều xoay quanh việc đọc đúng kí hiệu. Em hãy thuộc bảng dưới đây rồi mới bắt tay vào giải.

Kí hiệu	Ý nghĩa	Mẹo nhớ
a ∈ A, a ∉ A	a là (không là) phần tử của A	Dùng giữa phần tử và tập hợp
A ⊂ B	Mọi phần tử của A đều thuộc B	Dùng giữa tập hợp và tập hợp
A = B	A ⊂ B và B ⊂ A	Hai tập có đúng cùng phần tử
∅	Tập hợp không có phần tử nào	∅ là tập con của mọi tập hợp
A∩B	Phần tử thuộc cả A và B	∩ giống chữ “n”: và
A∪B	Phần tử thuộc A hoặc B	∪ giống chữ “u”: union, gộp lại
A\B	Thuộc A mà không thuộc B	“Lấy A bỏ đi phần chung với B”
CEA	Phần bù của A trong E (khi A ⊂ E)	Chính là E\A

Các tập con của R viết dưới dạng khoảng, đoạn: [a; b] (lấy cả hai đầu), (a; b) (bỏ cả hai đầu), [a; b), (a; b], cùng (a; +∞), [a; +∞), (−∞; b), (−∞; b]. Với kí hiệu ±∞ thì luôn dùng dấu ngoặc tròn.

Câu hỏi mở đầu trang 12: tình huống Câu lạc bộ Lịch sử

Từ bảng tên hiển thị ở hai chuyên đề, ta có hai tập hợp: A = {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh} (7 người) và B = {Hương; Chi; Tú; Khánh; Bình; Hân; Hiền; Lam} (8 người). Tình huống này được dùng xuyên suốt bài nên em nên vẽ sơ đồ ra nháp.

Các bạn thuộc cả hai chuyên đề là Hương, Chi, Tú, Bình, Khánh (5 bạn). Số bạn có mặt ở ít nhất một chuyên đề là 7 + 8 − 5 = 10. Câu lạc bộ có 12 thành viên nên 2 bạn vắng ở cả hai chuyên đề.

Vì sao phải trừ 5? Vì 5 bạn này bị đếm hai lần: một lần trong A, một lần trong B.

Mục 1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp (trang 12–14)

HĐ1

a) Nam có tên ở chuyên đề 1 nên Nam ∈ A. Ngân không có tên ở chuyên đề 2 nên Ngân ∉ B.
b) Liệt kê A và B như đã viết ở trên. Thứ tự các phần tử trong một tập hợp không quan trọng, và mỗi phần tử chỉ viết một lần.

HĐ2

a) Tính chất đặc trưng của C: “là các châu lục trên Trái Đất”.
b) C có 6 phần tử (châu Á, Âu, Đại Dương, Mĩ, Nam Cực, Phi).

Luyện tập 1 (X là tập nghiệm của x² − 24x + 143 = 0)

Phân tích: x² − 24x + 143 = (x − 11)(x − 13). Kiểm tra: 11 + 13 = 24 và 11·13 = 143. Vậy X = {11; 13}.

• a) 13 ∈ X: đúng.
• b) 11 ∉ X: sai, vì 11 là nghiệm.
• c) n(X) = 2: đúng.

HĐ3

H = {Hương; Hiền; Hân}. Cả ba phần tử đều có trong B nên mọi phần tử của H đều là phần tử của B. Đây chính là khái niệm “tập con”: H ⊂ B.

HĐ4

Cả Sơn và Thu đều đúng. Sơn viết bằng cách liệt kê: {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}. Thu viết bằng cách nêu tính chất đặc trưng: T = {n ∈ N | n là số chính phương, n < 100}. Hai cách viết cho cùng một tập hợp gồm 10 phần tử.

Mục 2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau (trang 15–16)

Luyện tập 2

D là tập các hình vuông. C là tập các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc, chính là tập các hình thoi. Lí do: trong hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O; nếu AC ⊥ BD thì AO vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ABD nên tam giác này cân, suy ra AB = AD, và do đó bốn cạnh bằng nhau.

Mọi hình vuông đều là hình thoi nhưng hình thoi không có góc vuông thì không là hình vuông. Vậy D ⊂ C và D ≠ C:

• a) C ⊂ D: sai.
• b) C ⊃ D: đúng.
• c) C = D: sai.

HĐ5, HĐ6 và Luyện tập 3–4: chuỗi N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R và các tập con của R

Em cần nắm: mỗi số tự nhiên là số nguyên, mỗi số nguyên là số hữu tỉ, mỗi số hữu tỉ là số thực, nên N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Để kiểm tra “A ⊂ B” hãy thử lấy một phần tử của A và xem nó có thuộc B không. Chỉ cần tìm được một phần tử của A không thuộc B là kết luận A ⊄ B.

Với C = {x ∈ R | x ≥ 3} và D = {x ∈ R | x > 3}: mọi số lớn hơn 3 thì cũng ≥ 3, nên D ⊂ C. Nhưng 3 ∈ C mà 3 ∉ D, nên C ⊄ D và C ≠ D. Chỉ một số 3 ở đầu mút đã làm hai tập khác nhau. Bài ghép cặp trong Luyện tập 4 chính là luyện cách đọc kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng bằng cách chuyển sang bất đẳng thức như vậy; chi tiết xem ở các trang giải riêng bên dưới.

Mục 3. Các phép toán trên tập hợp (trang 16–18)

HĐ7 và Luyện tập 5: phép giao

HĐ7: X = A∩B = {Hương; Chi; Tú; Bình; Khánh}.

Luyện tập 5: với C = [1; 5] và D = [−2; 3], x thuộc giao khi 1 ≤ x ≤ 5 và −2 ≤ x ≤ 3, tức là 1 ≤ x ≤ 3.

Vậy C∩D = [1; 3]. Mẹo: lấy đầu mút trái lớn hơn và đầu mút phải nhỏ hơn khi tìm giao hai đoạn.

HĐ8 và Luyện tập 6: phép hợp

HĐ8: các thành viên tham gia chuyên đề 1 hoặc 2 là A∪B = {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh; Hân; Hiền; Lam}, gồm 10 người. Luyện tập 6 yêu cầu vẽ biểu đồ Ven của A∪B: vẽ hai vòng tròn cắt nhau như hình ở trên rồi tô đậm toàn bộ phần của cả hai vòng.

HĐ9: phép hiệu

Các thành viên chỉ tham gia chuyên đề 1 mà không tham gia chuyên đề 2 là A\B = {Nam; Ngân}. Tương tự B\A = {Hân; Hiền; Lam}. Lưu ý A\B ≠ B\A.

Luyện tập 7: phần bù trong R

Phần bù của A trong R là R\A. Cách làm: vẽ trục số, tô phần A, phần còn lại là đáp số, nhớ đổi đầu mút “lấy” thành “không lấy” và ngược lại. Ví dụ tự đặt: C_R(−∞; 2) = [2; +∞) và C_R[−1; 4] = (−∞; −1) ∪ (4; +∞).

Vận dụng trang 18 (24 bạn, 16 bóng đá, 11 cầu lông)

Mỗi bạn thi ít nhất một môn nên n(A∪B) = 24. Theo công thức: 24 = 16 + 11 − n(A∩B), suy ra n(A∩B) = 27 − 24 = 3. Vậy có 3 bạn thi đấu cả hai môn.

Bài tập cuối bài (Bài 1.8 – 1.16, trang 19)

• Bài 1.8. Các quốc gia tiếp giáp Việt Nam: X = {Trung Quốc; Lào; Campuchia}. Biểu diễn bằng biểu đồ Ven: một đường cong khép kín chứa ba tên nước.
• Bài 1.9 (tập E các quốc gia Đông Nam Á). Cần chú ý: Lào và Campuchia thuộc E nhưng Trung Quốc thì không, nên X không phải tập con của E. Cách làm cụ thể xem ở trang giải riêng.
• Bài 1.10. A = {0; 4; 8; 12; 16} = {x ∈ N | x chia hết cho 4 và x ≤ 16}, hoặc A = {4k | k ∈ N, k ≤ 4}.
• Bài 1.11 (tìm tập rỗng). Một tập là rỗng khi phương trình hay bất phương trình xác định nó vô nghiệm trên tập số đã cho. Ví dụ tự đặt: {x ∈ R | x² + 1 = 0} = ∅, còn {x ∈ Z | 2x = 1} cũng rỗng vì 1/2 không nguyên.
• Bài 1.12 (X = {a; b}). Ghi nhớ: a ∈ X, {a} ⊂ X, ∅ ⊂ X, {a; b} = X; còn viết “a ⊂ X” hay “{a} ∈ X” là sai.
• Bài 1.13. A = B nên {2; 5} = {5; x}, suy ra x = 2. A = C nên {2; 5} = {2; y}, suy ra y = 5. Kết quả: x = 2, y = 5 (khi đó A = B = C = {2; 5}).
• Bài 1.14. B là nghiệm nguyên của (5x − 3x²)(x² + 2x − 3) = 0. Ta có 5x − 3x² = x(5 − 3x) = 0 cho x = 0 hoặc x = 5/3 (loại vì không nguyên). Ta có x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) = 0 cho x = −3 hoặc x = 1. Vậy B = {−3; 0; 1}. Cả ba số đều nhỏ hơn 4 nên B ⊂ A.
• Bài 1.15 (xác định tập hợp, biểu diễn trên trục số). Ví dụ cùng dạng: (−3; 1) ∪ [0; 4] = (−3; 4]; (0; 2] ∩ [−1; 1) = (0; 1); R \ (−∞; 3] = (3; +∞).
• Bài 1.16. Với 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người tiếng Pháp, trong đó 16 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng, số người huy động là 35 + 30 − 16 = 49 người.

Lỗi sai thường gặp

1. Nhầm ∈ với ⊂: phần tử thuộc tập hợp, tập hợp là tập con của tập hợp.
2. Viết tập {0} là tập rỗng. Sai: {0} có 1 phần tử, còn {∅} cũng có 1 phần tử, chỉ ∅ mới không có phần tử.
3. Giải xong phương trình mà quên đối chiếu tập số (N, Z hay R), như nghiệm 5/3 ở bài 1.14.
4. Tính n(A∪B) bằng n(A) + n(B) mà không trừ n(A∩B).
5. Viết [2; +∞] với dấu ngoặc vuông ở +∞.

Luyện tập thêm (có đáp án)

1. Cho A = {x ∈ N | x < 6, x lẻ} và B = {x ∈ Z | x² − 5x + 6 = 0}. Tìm A∩B, A∪B, A\B.
2. Lớp 10B có 40 học sinh; 25 bạn thích Toán, 18 bạn thích Tin, 6 bạn không thích môn nào trong hai môn. Bao nhiêu bạn thích cả hai?
3. Cho C = [−4; 2) và D = (0; 7]. Tìm C∩D, C∪D và C_RC.

Đáp án.

1. A = {1; 3; 5}; B = {2; 3}. Vậy A∩B = {3}, A∪B = {1; 2; 3; 5}, A\B = {1; 5}.
2. Số bạn thích ít nhất một môn là 40 − 6 = 34. Số bạn thích cả hai: 25 + 18 − 34 = 9 bạn.
3. C∩D = (0; 2); C∪D = [−4; 7]; C_RC = (−∞; −4) ∪ [2; +∞).

Mục lục lời giải chi tiết từng trang, từng bài

Em bấm vào từng mục để xem lời giải đầy đủ có phương pháp giải.

• Giải Toán 10 trang 12 Tập 1
  • Câu hỏi mở đầu trang 12
  • HĐ1 trang 12
• Giải Toán 10 trang 13 Tập 1
  • HĐ2 trang 13
  • Luyện tập 1 trang 13
  • HĐ3 trang 13
• Giải Toán 10 trang 14 Tập 1
  • HĐ4 trang 14
• Giải Toán 10 trang 15 Tập 1
  • Luyện tập 2 trang 15
  • HĐ5 trang 15
• Giải Toán 10 trang 16 Tập 1
  • HĐ6 trang 16
  • Luyện tập 4 trang 16
  • HĐ7 trang 16
• Giải Toán 10 trang 17 Tập 1
  • Luyện tập 5 trang 17
  • HĐ8 trang 17
  • Luyện tập 6 trang 17
• Giải Toán 10 trang 18 Tập 1
  • HĐ9 trang 18
  • Luyện tập 7 trang 18
  • Vận dụng trang 18
• Giải Toán 10 trang 19 Tập 1
  • Bài 1.8 trang 19
  • Bài 1.9 trang 19
  • Bài 1.10 trang 19
  • Bài 1.11 trang 19
  • Bài 1.12 trang 19
  • Bài 1.13 trang 19
  • Bài 1.14 trang 19
  • Bài 1.15 trang 19
  • Bài 1.16 trang 19

Học tiếp và ôn tập

• Lý thuyết Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
• 20 câu trắc nghiệm Tập hợp có đáp án
• Sách bài tập Toán 10 Bài 2
• Bài 1: Mệnh đề
• Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• Bài tập cuối chương 1
• Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức (cả cuốn)

Câu hỏi thường gặp

Bài 2 Toán 10 Kết nối tri thức học những nội dung nào?

Bài 2 gồm khái niệm tập hợp và hai cách mô tả (liệt kê, nêu tính chất đặc trưng), tập con và hai tập hợp bằng nhau, các tập con thường dùng của R (khoảng, đoạn, nửa khoảng), và các phép toán giao, hợp, hiệu, phần bù.

Công thức đếm số phần tử của hợp hai tập hợp là gì?

n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B). Ta trừ n(A∩B) vì các phần tử chung bị đếm hai lần. Công thức dùng cho Vận dụng trang 18 và Bài 1.16.

Phân biệt ∈ và ⊂ như thế nào?

∈ nối một phần tử với một tập hợp, ví dụ a ∈ {a; b}. ⊂ nối hai tập hợp, ví dụ {a} ⊂ {a; b}. Viết a ⊂ {a; b} là sai kí hiệu.

Khi nào dùng dấu ngoặc tròn, khi nào dùng ngoặc vuông cho khoảng?

Ngoặc vuông khi đầu mút thuộc tập hợp (dấu ≤ hoặc ≥), ngoặc tròn khi đầu mút không thuộc (dấu ). Với −∞ và +∞ luôn dùng ngoặc tròn.

Bài học liên quan

• Chuyên đề Toán 10 Cánh diều: Giải Chuyên đề học tập đầy đủ
• Cách tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác lớp 10
• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và bài tập
• Lý thuyết Hàm số bậc hai Toán 10 Chân trời sáng tạo: tóm tắt, ví dụ
• Lý thuyết Không gian mẫu và biến cố Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập cuối chương 3 Toán 10 Kết nối tri thức (bài 3.12–3.19)