Phương pháp quy nạp toán học Toán 10 Chân trời sáng tạo: lý thuyết, bài giải

Nguyên lí quy nạp toán học là gì?

Hãy nghĩ tới một hàng quân domino dài vô tận. Nếu quân đầu tiên đổ, và quân nào đổ cũng kéo theo quân kế tiếp đổ, thì toàn bộ hàng sẽ đổ. Đó chính là phần khởi động của bài trong sách Chuyên đề học tập: hai điều kiện “quân đầu đổ” và “quân thứ k đổ thì quân thứ k + 1 đổ” đủ để kết luận tất cả đều đổ.

Chuyển sang ngôn ngữ toán học, với mệnh đề P(n) phụ thuộc số tự nhiên n:

• Bước 1 (cơ sở quy nạp): chứng tỏ P(n₀) đúng, thường n₀ = 1 hoặc số nhỏ nhất đề bài cho.
• Bước 2 (bước quy nạp): với k ≥ n₀ bất kì, giả sử P(k) đúng (đây là giả thiết quy nạp), chứng minh P(k + 1) đúng.
• Kết luận: P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ n₀.

Vì sao phải đủ cả hai bước?

Đây là chỗ học sinh hay chép mẫu mà không hiểu. Mỗi bước đóng một vai trò riêng và không bước nào thay được bước kia.

Chỉ kiểm tra vài giá trị thì chưa đủ

Công thức 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5 nhưng việc thử thêm các số khác không bao giờ “phủ” hết tập vô hạn ℕ*. Một ví dụ cảnh báo kinh điển: biểu thức n² + n + 41 cho số nguyên tố với n = 1, 2, …, 39, nhưng với n = 40 ta có 40² + 40 + 41 = 1681 = 41², là hợp số. Thử nhiều giá trị chỉ cho ta dự đoán, không phải chứng minh.

Chỉ làm bước 2 thì có thể chứng minh cả điều sai

Xét “P(n): n = n + 1”. Nếu giả sử P(k) đúng, tức k = k + 1, cộng 1 hai vế được k + 1 = k + 2, tức P(k + 1) đúng. Bước 2 “trơn tru” nhưng mệnh đề hiển nhiên sai, vì không có bước 1 (P(1): 1 = 2 sai). Như vậy domino không có quân đầu bị đẩy thì chẳng quân nào đổ.

Lỗi thường gặp khi trình bày

• Viết “giả sử đúng với mọi k” (như vậy là giả sử luôn điều cần chứng minh). Phải là: giả sử đúng với một số k ≥ n₀ nào đó.
• Không dùng giả thiết quy nạp trong bước 2, nên thực chất là chứng minh trực tiếp P(k + 1) mà không cần quy nạp.
• Bắt đầu sai n₀. Với bất đẳng thức “n ≥ 3”, kiểm tra n = 1 là sai chỗ.
• Quên viết ra rõ vế cần chứng minh của n = k + 1, dẫn đến biến đổi mò mẫm.

Cách làm theo từng dạng

Dạng	Mẹo ở bước 2
Đẳng thức (tổng)	Tách vế trái n = k + 1 thành “vế trái n = k” + “số hạng mới”, thay giả thiết rồi quy đồng, rút nhân tử chung.
Bất đẳng thức	Nhân hoặc cộng giả thiết quy nạp, sau đó dùng điều kiện k ≥ n0 để “đánh giá” phần dư. Có thể xét hiệu hai vế.
Chia hết	Viết biểu thức n = k + 1 thành (biểu thức n = k) + (một biểu thức đã rõ chia hết).
Hình học, đếm	Vẽ thêm một đối tượng (đường thẳng, đỉnh) từ trường hợp k để thu được trường hợp k + 1, rồi tính phần tăng thêm.

Ví dụ minh hoạ mới

Ví dụ 1 (đẳng thức)

Chứng minh 1·2 + 2·3 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3 với mọi n ∈ ℕ*.

1. n = 1: vế trái = 1·2 = 2, vế phải = 1·2·3/3 = 2. Đúng.
2. Giả sử đúng với n = k ≥ 1: 1·2 + … + k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)/3. Với n = k + 1, vế trái bằng k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)·(k/3 + 1) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3, đúng bằng vế phải khi thay n = k + 1.

Kết luận: đẳng thức đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Ví dụ 2 (bất đẳng thức)

Chứng minh 2ⁿ > 2n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 3.

1. n = 3: 2³ = 8 > 7 = 2·3 + 1. Đúng.
2. Giả sử 2^k > 2k + 1 với k ≥ 3. Khi đó 2^k+1 = 2·2^k > 2(2k + 1) = 4k + 2. Mà 4k + 2 – [2(k + 1) + 1] = 2k – 1 > 0 nên 4k + 2 > 2(k + 1) + 1. Suy ra 2^k+1 > 2(k + 1) + 1.

Lưu ý: bất đẳng thức này sai với n = 1, 2 (2 < 3 và 4 < 5), nên bắt buộc xuất phát từ n = 3.

Ví dụ 3 (chia hết)

Chứng minh 7ⁿ – 1 chia hết cho 6 với mọi n ∈ ℕ*.

n = 1: 7 – 1 = 6, chia hết cho 6. Giả sử 7^k – 1 chia hết cho 6. Ta có 7^k+1 – 1 = 7(7^k – 1) + 6. Cả hai số hạng đều chia hết cho 6 nên tổng chia hết cho 6. Hoàn tất.

Hướng dẫn các bài trong sách Chuyên đề (Chân trời sáng tạo)

Khám phá: tại sao tô màu chưa đủ thuyết phục?

Công thức 1 + 3 + … + (2n – 1) = n² đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5 (các tổng lần lượt là 1, 4, 9, 16, 25). Nhưng ℕ* vô hạn, kiểm tra một số hữu hạn trường hợp không chứng tỏ đúng với mọi n.

Thực hành 1: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2

Với n = 1: 1 = 1·2/2. Giả sử đúng với k, khi đó 1 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2. Đây chính là vế phải khi n = k + 1.

Thực hành 2: 2ⁿ⁺¹ > n² + n + 2 với n ≥ 3

n = 3: 16 > 14. Giả sử 2^k+1 > k² + k + 2 (k ≥ 3), suy ra 2^k+2 > 2k² + 2k + 4. Cần so với (k + 1)² + (k + 1) + 2 = k² + 3k + 4. Hiệu hai biểu thức là k² – k = k(k – 1) > 0 nên bất đẳng thức đúng với k + 1.

Thực hành 3: n³ + 2n chia hết cho 3

Với n = 1 được 3. Ta có (k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 2k) + 3(k² + k + 1). Số hạng thứ nhất chia hết cho 3 theo giả thiết, số hạng thứ hai có thừa số 3, nên tổng chia hết cho 3.

Thực hành 4: tổng cấp số nhân 1 + q + … + q^n–1 = (1 – qⁿ)/(1 – q), q ≠ 1

Với n = 1 hai vế đều bằng 1. Giả sử đúng với k, thêm số hạng q^k: (1 – q^k)/(1 – q) + q^k = [1 – q^k + q^k(1 – q)]/(1 – q) = (1 – q^k+1)/(1 – q).

Thực hành 5: n đường thẳng cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần

Một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần. Thêm đường thứ k + 1 cũng đi qua điểm chung (khác các đường cũ), nó cắt đúng hai miền cũ thành bốn miền, nghĩa là tăng thêm 2 miền. Vậy số miền là 2k + 2 = 2(k + 1).

Vận dụng: công thức lãi kép

Gửi A đồng, lãi r mỗi kì, sau n kì cả vốn lẫn lãi là A(1 + r)ⁿ. Với n = 1 được A(1 + r). Nếu sau k kì có A(1 + r)^k, thì sang kì k + 1 số tiền này được nhân thêm (1 + r), cho A(1 + r)^k+1.

Bài 3: bất đẳng thức Bernoulli

Với x > –1, chứng minh (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx. Khi n = 1 hai vế bằng nhau. Giả sử đúng với k, vì 1 + x > 0 nên nhân hai vế với (1 + x): (1 + x)^k+1 ≥ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx² ≥ 1 + (k + 1)x. Chú ý điều kiện 1 + x > 0 là chỗ quyết định để giữ nguyên chiều bất đẳng thức khi nhân.

Bài 6: tổng các góc của đa giác

Với đa giác lồi n cạnh, S_n = (n – 2)·180°. Tam giác (n = 3) có 180°. Với đa giác k + 1 đỉnh, nối A₁ với A_k ta tách ra tam giác A₁A_kA_k+1 và đa giác k cạnh nên S_k+1 = S_k + 180° = (k – 1)·180°.

Bài luyện tập có đáp án

1. Chứng minh 1³ + 2³ + … + n³ = [n(n + 1)/2]².
   Gợi ý: n = 1: 1 = 1. Bước 2: [k(k + 1)/2]² + (k + 1)³ = (k + 1)²·[k²/4 + k + 1] = (k + 1)²(k + 2)²/4, đúng.
2. Chứng minh n! ≥ 2^n–1 với mọi n ∈ ℕ*.
   Gợi ý: n = 1: 1 ≥ 1. Có (k + 1)! = (k + 1)·k! ≥ (k + 1)·2^k–1 ≥ 2·2^k–1 = 2^k, vì k + 1 ≥ 2.
3. Chứng minh 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 với mọi n ∈ ℕ*.
   Gợi ý: n = 1: 4 + 15 – 1 = 18, chia hết cho 9. Có 4^k+1 + 15(k + 1) – 1 = 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4(…) – 9(5k – 2), cả hai số hạng chia hết cho 9.

Tra cứu thêm lời giải từng bài

Danh sách dưới đây dẫn tới lời giải chi tiết của từng câu trong bài, theo thứ tự trong sách.

• Khởi động trang 27
• Khám phá 1 trang 27
• Thực hành 1 trang 29
• Thực hành 2 trang 29
• Thực hành 3 trang 31
• Thực hành 4 trang 31
• Thực hành 5 trang 31
• Vận dụng trang 31
• Bài 1 trang 32
• Bài 2 trang 32
• Bài 3 trang 32
• Bài 4 trang 32
• Bài 5 trang 32
• Bài 6 trang 32
• Bài 7 trang 32

Học tiếp chuyên đề: Bài 2: Nhị thức Newton và Bài tập cuối chuyên đề 2. Muốn xem toàn bộ các bài khác, mời vào Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo.

Mẹo nhớ nhanh

• Nhớ cụm “Đầu – Kế – Kết“: kiểm tra trường hợp đầu, chứng minh kế tiếp, rồi viết kết luận.
• Trước khi biến đổi, luôn viết dòng “cần chứng minh” cho n = k + 1.
• Khi bí, hãy hỏi: “Giả thiết quy nạp xuất hiện ở đâu trong biểu thức của k + 1?” và tách ra chỗ đó.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp quy nạp toán học gồm mấy bước?

Gồm hai bước chính: kiểm tra mệnh đề đúng với n = n0 (thường n0 = 1), rồi giả sử đúng với n = k và chứng minh đúng với n = k + 1. Sau đó viết kết luận theo nguyên lí quy nạp toán học.

Giả thiết quy nạp là gì?

Đó là điều ta giả sử ở bước 2: mệnh đề đúng với một số tự nhiên k ≥ n0 nào đó. Ta dùng chính giả thiết này để suy ra mệnh đề đúng với k + 1.

Khi nào bắt đầu quy nạp từ n lớn hơn 1?

Khi mệnh đề chỉ đúng với n ≥ n0, ví dụ 2^n > 2n + 1 chỉ đúng từ n = 3. Khi đó bước 1 kiểm tra n = n0, còn bước 2 giả sử k ≥ n0.

Có thể bỏ bước 1 nếu bước 2 làm được không?

Không. Thiếu bước 1 có thể chứng minh được cả mệnh đề sai, chẳng hạn mệnh đề n = n + 1 vẫn thoả bước 2. Hai bước phải đi cùng nhau như quân domino đầu và quan hệ nối tiếp.

Bài học liên quan

• Giải SGK Toán 10 Bài 3 Cánh diều: Dấu của tam thức bậc hai
• Lý thuyết giải bất phương trình bậc hai một ẩn – Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo: tóm tắt đủ 10 chương
• Giải Toán 10 Bài 8 Kết nối tri thức: Tổng và hiệu của hai vectơ
• Lý thuyết Toán 10 Cánh diều: tóm tắt kiến thức trọng tâm 7 chương
• Tọa độ của vectơ lớp 10 (Chân trời sáng tạo): lý thuyết, cách tìm, bài tập