Tọa độ vectơ u=(1, 2), v=(3, 0): tổng, hiệu và tích với số
Lớp 10Toán

Cách tính tọa độ vectơ tổng, hiệu, tích với một số – Toán 10

Trả lời nhanh

Với u→ = (x; y), v→ = (x’; y’) và số thực k, ta cộng, trừ, nhân theo từng thành phần: u→ + v→ = (x + x’; y + y’), u→ − v→ = (x − x’; y − y’), k·u→ = (kx; ky). Muốn tìm tọa độ của một biểu thức vectơ, em đổi mọi vectơ về tọa độ rồi tính hoành độ và tung độ riêng với nhau.

1. Công thức cần nhớ

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u→ = (x; y), v→ = (x’; y’) và số thực k. Khi đó:

Phép toán Tọa độ
u→ + v→ (x + x’; y + y’)
u→ − v→ (x − x’; y − y’)
k·u→ (kx; ky)
m·u→ + n·v→ (mx + nx’; my + ny’)
AB→ với A(xA; yA), B(xB; yB) (xB − xA; yB − yA)

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi hoành độ bằng hoành độ, tung độ bằng tung độ. Đây là “chìa khoá” để biến một đẳng thức vectơ thành hệ hai phương trình.

2. Vì sao công thức lại đúng?

Gọi i→ = (1; 0) và j→ = (0; 1) là hai vectơ đơn vị trên hai trục. Vectơ u→ = (x; y) nghĩa là u→ = x·i→ + y·j→. Tương tự v→ = x’·i→ + y’·j→.

Cộng hai vectơ: u→ + v→ = (x + x’)·i→ + (y + y’)·j→, nên tọa độ là (x + x’; y + y’). Nhân với k: k·u→ = kx·i→ + ky·j→, nên tọa độ là (kx; ky). Em chỉ cần nhớ: tọa độ làm việc “từng cột một”, giống như cộng hai số có hai chữ số theo từng hàng mà không có nhớ.

Cộng hai vectơ u=(3;1) và v=(1;2) trên mặt phẳng tọa độ được vectơ tổng (4;3) theo quy tắc hình bình hành
Cộng từng thành phần: (3;1) + (1;2) = (4;3), trùng với đường chéo hình bình hành dựng trên hai vectơ.

3. Các bước giải một bài tính tọa độ vectơ

  1. Bước 1: Viết tọa độ của từng vectơ có trong biểu thức. Nếu đề cho điểm, tính vectơ bằng “toạ độ điểm cuối trừ toạ độ điểm đầu”.
  2. Bước 2: Nhân hệ số trước (nhân k vào cả hai thành phần).
  3. Bước 3: Cộng hoặc trừ theo hoành độ, rồi theo tung độ.
  4. Bước 4: Nếu đề hỏi tìm điểm M(x; y) hoặc tìm tham số, cho hai thành phần bằng nhau để lập hệ phương trình.

4. Ví dụ minh hoạ có lời giải

Ví dụ 1

Trong hệ trục (O; i→, j→), tọa độ của vectơ i→ + j→ là: A. (−1; 1); B. (1; 0); C. (0; 1); D. (1; 1).

Giải. i→ = (1; 0), j→ = (0; 1) nên i→ + j→ = (1 + 0; 0 + 1) = (1; 1). Đáp án D.

Loại B và C vì đó chính là i→ và j→ riêng lẻ; loại A vì hoành độ phải dương. Chỗ dễ sai: nhầm i→ + j→ thành i→ − j→ = (1; −1).

Ví dụ 2

Cho u→ = (3; −2), v→ = (1; 6). Khẳng định nào đúng? A. u→ + v→ và a→ = (−4; 4) ngược hướng; B. u→, v→ cùng phương; C. u→ − v→ và b→ = (6; −24) cùng hướng; D. 2u→ + v→ và v→ cùng phương.

Giải. Tính trước: u→ + v→ = (4; 4), u→ − v→ = (2; −8), 2u→ + v→ = (7; 2).

  • A sai: (4; 4) và (−4; 4) có 4·4 − 4·(−4) = 32 ≠ 0 nên không cùng phương, càng không thể ngược hướng.
  • B sai: 3·6 − (−2)·1 = 20 ≠ 0 nên u→, v→ không cùng phương.
  • C đúng: b→ = (6; −24) = 3·(2; −8) với hệ số 3 > 0 nên u→ − v→ và b→ cùng hướng.
  • D sai: 7·6 − 2·1 = 40 ≠ 0 nên không cùng phương.

Đáp án C. Mẹo: hai vectơ (a; b) và (c; d) cùng phương khi ad − bc = 0; nếu còn thêm hệ số tỉ lệ dương thì cùng hướng, âm thì ngược hướng.

Ví dụ 3

Cho A(1; 3), B(4; 0). Tìm tọa độ điểm M thỏa 3AM→ + AB→ = 0→. Các đáp án: A. (4; 0); B. (5; 3); C. (0; 4); D. (0; −4).

Giải. AB→ = (3; −3), AM→ = (x − 1; y − 3). Đẳng thức cho hệ:

  • 3(x − 1) + 3 = 0 ⇒ x = 0;
  • 3(y − 3) − 3 = 0 ⇒ y = 4.

Vậy M(0; 4). Đáp án C. Kiểm tra nhanh: AM→ = (−1; 1), 3AM→ = (−3; 3), cộng AB→ = (3; −3) ra (0; 0). ✔

Ví dụ 4

Cho A(−3; 3), B(1; 4), C(2; −5). Tìm M thỏa 2MA→ − BC→ = 4CM→.

Giải. Đặt M(x; y). Khi đó MA→ = (−3 − x; 3 − y), BC→ = (1; −9), CM→ = (x − 2; y + 5).

  • Hoành độ: 2(−3 − x) − 1 = 4(x − 2) ⇔ −7 − 2x = 4x − 8 ⇔ 6x = 1 ⇔ x = 1/6.
  • Tung độ: 2(3 − y) + 9 = 4(y + 5) ⇔ 15 − 2y = 4y + 20 ⇔ 6y = −5 ⇔ y = −5/6.

Vậy M(1/6; −5/6). Lỗi hay gặp: viết MA→ thành (x + 3; y − 3) (lấy đầu trừ cuối) làm đổi dấu cả vế.

Ví dụ 5 (tự đặt)

Cho a→ = (−2; 5), b→ = (4; −3). Tính tọa độ của 3a→ + 2b→ và a→ − (1/2)b→.

Giải. 3a→ = (−6; 15), 2b→ = (8; −6) nên 3a→ + 2b→ = (2; 9). Còn (1/2)b→ = (2; −3/2) nên a→ − (1/2)b→ = (−2 − 2; 5 + 3/2) = (−4; 13/2).

Chú ý dấu: trừ một số âm thì thành cộng, vì vậy 5 − (−3/2) = 5 + 3/2.

Ví dụ 6 (tự đặt – tìm tham số)

Cho a→ = (x; 2), b→ = (−5; 1), c→ = (x; 7). Tìm x để c→ = 2a→ + 3b→.

Giải. 2a→ + 3b→ = (2x − 15; 4 + 3) = (2x − 15; 7). Cho bằng c→ = (x; 7): tung độ 7 = 7 luôn đúng, hoành độ x = 2x − 15 ⇒ x = 15.

Em để ý: một thành phần đã tự thoả mãn thì chỉ còn một phương trình để giải. Nếu cả hai phương trình mâu thuẫn thì không có giá trị x nào.

5. Các dạng toán thường gặp quanh chủ đề này

Dạng Cách làm
Tính tọa độ biểu thức m·u→ + n·v→ Nhân hệ số, cộng từng thành phần
Tìm điểm M thỏa đẳng thức vectơ Đặt M(x; y), viết các vectơ chứa M, lập hệ hai phương trình
Phân tích c→ = m·a→ + n·b→ Cho hai thành phần bằng nhau, giải hệ tìm m, n
Chứng minh cùng phương, cùng hướng Xét ad − bc = 0 hoặc tỉ lệ các thành phần, kiểm tra dấu của hệ số
Tìm đỉnh hình bình hành Dùng AB→ = DC→

6. Lỗi sai thường gặp

  • Nhân k vào hoành độ mà quên tung độ.
  • Tính AB→ bằng “đầu trừ cuối” thay vì “cuối trừ đầu”.
  • Bỏ dấu ngoặc khi trừ: a − (b + c) phải đổi dấu cả hai số trong ngoặc.
  • Kết luận “cùng hướng” chỉ vì cùng phương mà không xét dấu hệ số tỉ lệ.
  • Cộng hoành độ với tung độ của cùng một vectơ – hai thành phần không bao giờ trộn lẫn.

7. Bài tập tự luyện (có đáp án)

  1. Cho a→ = (2; −1), b→ = (−3; 4). Tính tọa độ 3a→ − 2b→.
  2. Cho a→ = (1; −2), b→ = (0; 3), c→ = (−4; 5). Tìm m, n để c→ = m·a→ + n·b→.
  3. Cho A(2; −1), B(−1; 3). Tìm M sao cho AM→ = 2AB→.
  4. Cho a→ = (1; 2), b→ = (3; −1), c→ = (2; 1). Tìm m để a→ + m·b→ cùng phương với c→.
  5. Cho A(1; 2), B(3; −4), C(−2; 1). Tìm D để ABCD là hình bình hành.

Đáp án

  1. 3a→ = (6; −3), 2b→ = (−6; 8) ⇒ 3a→ − 2b→ = (12; −11).
  2. m·a→ + n·b→ = (m; −2m + 3n). Từ m = −4 và −2m + 3n = 5 ⇒ 8 + 3n = 5 ⇒ n = −1. Vậy m = −4, n = −1.
  3. AB→ = (−3; 4), 2AB→ = (−6; 8); x − 2 = −6, y + 1 = 8 ⇒ M(−4; 7).
  4. a→ + m·b→ = (1 + 3m; 2 − m). Cùng phương c→ = (2; 1): (1 + 3m)·1 − (2 − m)·2 = 0 ⇔ 5m − 3 = 0 ⇔ m = 3/5.
  5. ABCD là hình bình hành ⇔ AB→ = DC→. AB→ = (2; −6), DC→ = (−2 − x; 1 − y) ⇒ x = −4, y = 7. Vậy D(−4; 7).

8. Học tiếp ở đâu?

Sau khi vững phần này, em có thể luyện thêm các dạng liên quan:

  • Bài tập tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ có đáp án
  • Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
  • Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
  • Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ
  • Lý thuyết, bài tập về vectơ và tọa độ có đáp án

Câu hỏi thường gặp

Cách tính tọa độ của vectơ u + v là gì?

Cộng hoành độ với hoành độ, tung độ với tung độ: nếu u = (x; y), v = (x'; y') thì u + v = (x + x'; y + y'). Phép trừ làm tương tự: u − v = (x − x'; y − y').

Nhân vectơ với một số k thì tọa độ thay đổi thế nào?

Nhân k vào cả hai thành phần: k·(x; y) = (kx; ky). Nếu k > 0 vectơ mới cùng hướng với vectơ cũ, nếu k < 0 thì ngược hướng, và độ dài nhân với |k|.

Làm sao tìm tọa độ điểm M thỏa một đẳng thức vectơ?

Đặt M(x; y), viết tọa độ các vectơ chứa M theo x, y, thực hiện các phép cộng, trừ, nhân số rồi cho hoành độ và tung độ hai vế bằng nhau để được hệ hai phương trình bậc nhất.

Khi nào hai vectơ cùng phương, cùng hướng?

Hai vectơ (a; b) và (c; d) cùng phương khi ad − bc = 0. Nếu vectơ này bằng k lần vectơ kia thì cùng hướng khi k > 0 và ngược hướng khi k < 0.

Bài học liên quan