Trả lời nhanh
Với a = (2; 2), b = (1; −4), c = (5; 0), ta tìm x, y sao cho c = x·a + y·b. Hệ 2x + y = 5 và 2x − 4y = 0 cho x = 2, y = 1. Vậy c = 2a + b. Kiểm tra: 2·(2; 2) + (1; −4) = (5; 0), đúng.
Lưu ý về đề: đề gốc viết dạng chữ nên dấu trừ dễ bị mất. Ở đây ta hiểu đề là a = (2; 2), b = (1; −4), c = (5; 0). Nếu sách của em ghi b = (1; 4), em vẫn làm theo đúng các bước dưới đây, chỉ khác số (xem phần cuối bài).
Phân tích một vectơ theo hai vectơ là gì?
Nếu hai vectơ a và b không cùng phương thì mọi vectơ c trong mặt phẳng đều viết được duy nhất dưới dạng c = x·a + y·b. Việc tìm cặp số (x; y) gọi là phân tích c theo a và b.
Trước hết hãy kiểm tra a và b có cùng phương hay không. Hai vectơ (a₁; a₂) và (b₁; b₂) cùng phương khi a₁b₂ − a₂b₁ = 0. Ở đây: 2·(−4) − 2·1 = −8 − 2 = −10 ≠ 0, nên a, b không cùng phương và phép phân tích tồn tại, duy nhất.
Lời giải chi tiết
- Viết dạng cần tìm: c = x·a + y·b.
- Tính theo tọa độ: x·a + y·b = (2x + y; 2x − 4y).
- Cho bằng c = (5; 0):
2x + y = 5 (1)
2x − 4y = 0 (2) - Giải hệ: Từ (2) suy ra x = 2y. Thế vào (1): 4y + y = 5, nên y = 1 và x = 2. (Cách khác: lấy (1) trừ (2) được 5y = 5.)
- Kết luận: c = 2a + b.
Kiểm tra lại kết quả
Luôn thay ngược để chắc chắn: 2a = (4; 4), cộng với b = (1; −4) được (4 + 1; 4 − 4) = (5; 0) = c. Đúng.
Hình trên cho thấy ý nghĩa hình học: đi theo 2a (từ O tới điểm (4; 4)), rồi đi tiếp theo b (xuống 4 đơn vị, sang phải 1 đơn vị) thì tới đúng điểm (5; 0) – ngọn của c.
Lỗi sai thường gặp
- Bỏ qua dấu âm của b khi lập phương trình thứ hai (viết 2x + 4y thay vì 2x − 4y).
- Ghép nhầm tọa độ: hoành độ phải đi với hoành độ, tung độ đi với tung độ.
- Không thử lại nên không phát hiện sai số khi giải hệ.
Mẹo nhớ
Coi a, b như hai “cột” của một hệ phương trình: cột thứ nhất (2; 2), cột thứ hai (1; −4), vế phải là c = (5; 0). Giải hệ hai ẩn là xong, không cần vẽ hình.
Nếu đề cho b = (1; 4)
Hệ trở thành 2x + y = 5 và 2x + 4y = 0. Trừ vế theo vế: 3y = −5, y = −5/3, rồi x = −2y = 10/3·… cụ thể từ 2x + 4y = 0 suy ra x = −2y = 10/3. Kiểm tra: 2·(10/3) + (−5/3) = 15/3 = 5. Vậy c = (10/3)a − (5/3)b. Kết quả không “đẹp” bằng trường hợp b = (1; −4), một dấu hiệu cho thấy đề gốc nhiều khả năng là b = (1; −4).
Bài luyện tập
- Cho a = (1; 2), b = (3; −1). Phân tích c = (7; 4) theo a và b.
Đáp án: x + 3y = 7 và 2x − y = 4 cho x = 19/7·… giải lại: từ 2x − y = 4 suy ra y = 2x − 4; thế vào: x + 6x − 12 = 7, x = 19/7, y = −10/7. Vậy c = (19/7)a − (10/7)b. - Cho a = (1; 1), b = (1; −1). Phân tích c = (3; 5).
Đáp án: x + y = 3, x − y = 5 nên x = 4, y = −1; c = 4a − b. - Vì sao không thể phân tích c = (1; 1) theo a = (2; 4) và b = (−1; −2) một cách duy nhất?
Đáp án: a = −2b nên a, b cùng phương (2·(−2) − 4·(−1) = 0), không dùng làm cơ sở được.
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để phân tích được vectơ c theo hai vectơ a và b là gì?
Hai vectơ a và b phải không cùng phương, tức là a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0. Khi đó c luôn viết được duy nhất dưới dạng c = x·a + y·b.
Kết quả phân tích c = (5; 0) theo a = (2; 2), b = (1; −4) là gì?
c = 2a + b, vì 2·(2; 2) + (1; −4) = (5; 0).
Làm sao kiểm tra nhanh đáp án vừa tìm?
Thay x, y vào x·a + y·b rồi cộng tọa độ; nếu ra đúng tọa độ của c thì kết quả đúng.