Trả lời nhanh
Tổng của hai vectơ a→ và b→ là vectơ AC→ khi vẽ AB→ = a→, BC→ = b→ (quy tắc ba điểm: AB→ + BC→ = AC→). Hiệu a→ − b→ là tổng của a→ với vectơ đối của b→. Với ba điểm O, M, N bất kì ta có quy tắc hiệu: ON→ − OM→ = MN→, tức là “cuối trừ đầu”.
Quy ước kí hiệu trong bài: AB→ đọc là “vectơ AB” (điểm đầu A, điểm cuối B); |AB→| là độ dài vectơ, bằng độ dài đoạn AB. Bài này nối tiếp phần khái niệm vectơ ở Bài 7, bạn nên xem lại nếu chưa vững hai vectơ bằng nhau, cùng hướng, ngược hướng: Lý thuyết Bài 7: Các khái niệm mở đầu.
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa
Cho hai vectơ a→ và b→. Lấy điểm A tuỳ ý, dựng AB→ = a→, rồi dựng BC→ = b→. Vectơ AC→ gọi là tổng của a→ và b→, kí hiệu a→ + b→. Phép lấy tổng gọi là phép cộng vectơ.
Điểm cần nhớ: muốn cộng hai vectơ theo định nghĩa, phải “nối đuôi”: điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng điểm đầu của vectơ thứ hai. Nếu hai vectơ cho sẵn không nối đuôi, ta tịnh tiến một vectơ (giữ nguyên độ dài và hướng) cho đến khi nối được.
Hai quy tắc cần thuộc
- Quy tắc ba điểm: với ba điểm A, B, C bất kì, AB→ + BC→ = AC→.
- Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì AB→ + AD→ = AC→ (hai vectơ cùng xuất phát từ đỉnh A, tổng là đường chéo xuất phát từ A).
Hai quy tắc này thực chất là một: trong hình bình hành, AD→ = BC→ nên AB→ + AD→ = AB→ + BC→ = AC→. Dùng quy tắc nào tuỳ vào hai vectơ cho sẵn nối đuôi hay chung gốc.
Tính chất của phép cộng
| Tính chất | Biểu thức |
|---|---|
| Giao hoán | a→ + b→ = b→ + a→ |
| Kết hợp | (a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→) |
| Vectơ–không | a→ + 0→ = 0→ + a→ = a→ |
Nhờ tính chất kết hợp, ta viết tổng nhiều vectơ không cần ngoặc và được tự do chọn thứ tự nhóm, miễn sao các vectơ nối đuôi nhau thành một “đường gấp khúc”.
Ví dụ 1
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, AD = 4. Tính |AB→ + AD→| và |AB→ + BC→ + CD→|.
Giải. Theo quy tắc hình bình hành, AB→ + AD→ = AC→, nên |AB→ + AD→| = AC = √(3² + 4²) = 5.
Với tổng thứ hai, các vectơ nối đuôi: AB→ + BC→ + CD→ = AC→ + CD→ = AD→, nên độ dài bằng AD = 4.
Ví dụ 2 (hình vuông cạnh 1)
Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Tính |BC→ + DC→|.
Giải. Vì BC→ = AD→ nên BC→ + DC→ = AD→ + DC→ = AC→. Do đó |BC→ + DC→| = AC = √2.
2. Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối
- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a→ gọi là vectơ đối của a→, kí hiệu −a→.
- Vectơ đối của 0→ là chính 0→.
- Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng 0→. Đặc biệt AB→ + BA→ = AA→ = 0→, vậy vectơ đối của AB→ là BA→.
Định nghĩa hiệu
Hiệu của a→ và b→ là vectơ a→ + (−b→), kí hiệu a→ − b→. Phép lấy hiệu gọi là phép trừ vectơ. Nói cách khác, trừ một vectơ chính là cộng với vectơ đối của nó.
Kiểm tra nhanh: nếu b→ + c→ = a→ thì a→ − b→ = c→. Thật vậy, a→ + (−b→) = (c→ + b→) + (−b→) = c→ + 0→ = c→.
Quy tắc hiệu
Với ba điểm O, M, N bất kì: MN→ = ON→ − OM→. Mẹo nhớ: “cuối trừ đầu” – vectơ cần tính có điểm cuối N, điểm đầu M; chọn một điểm O bất kì làm gốc chung rồi lấy vectơ tới điểm cuối trừ vectơ tới điểm đầu.
Chứng minh: ON→ − OM→ = ON→ + MO→ = MO→ + ON→ = MN→ (quy tắc ba điểm).
Ví dụ 3
Cho hình bình hành ABCD và điểm O bất kì. Chứng minh OB→ − OA→ = OC→ − OD→.
Giải. Theo quy tắc hiệu: OB→ − OA→ = AB→ và OC→ − OD→ = DC→. Vì ABCD là hình bình hành nên AB→ = DC→. Vậy hai vế bằng nhau.
3. Trung điểm và trọng tâm qua vectơ
- I là trung điểm của AB ⇔ IA→ + IB→ = 0→.
- G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA→ + GB→ + GC→ = 0→.
Hai hệ thức này xuất hiện rất nhiều trong các bài chứng minh. Lý do: IA→ và IB→ có cùng độ dài, ngược hướng nên là hai vectơ đối nhau. Với trọng tâm, nếu M là trung điểm BC thì GB→ + GC→ = GA’→ nên tổng ba vectơ triệt tiêu, trong đó G nằm trên trung tuyến AM với GA = 2GM.
4. Ứng dụng trong vật lí
- Hợp lực: hai lực u₁→, u₂→ cùng tác dụng lên chất điểm A thì hợp lực biểu diễn bởi u₁→ + u₂→.
- Vận tốc thuyền trên sông: vận tốc thực so với bờ = vận tốc riêng (so với nước) + vận tốc dòng nước: v→ = vr→ + vn→.
Ví dụ 4 (tự đặt). Một chiếc thuyền chạy với vận tốc riêng 4 m/s, hướng vuông góc với bờ; nước chảy dọc bờ với vận tốc 3 m/s. Hai vectơ vuông góc, tạo thành hai cạnh của hình chữ nhật, nên vận tốc thực là đường chéo: √(4² + 3²) = 5 m/s.
5. Các dạng bài thường gặp và cách làm
| Dạng bài | Cách làm |
|---|---|
| Rút gọn tổng/hiệu nhiều vectơ | Ghép các vectơ nối đuôi bằng quy tắc ba điểm; đổi hiệu thành cộng vectơ đối hoặc dùng quy tắc hiệu. |
| Chứng minh đẳng thức vectơ | Biến đổi một vế (hoặc cả hai vế) về cùng một biểu thức; xen thêm điểm trung gian vào AB→ = AO→ + OB→. |
| Tính độ dài |a→ ± b→| | Đưa về một vectơ duy nhất rồi tính độ dài đoạn thẳng tương ứng bằng Pythagore hoặc định lí cos. |
| Bài toán lực, vận tốc | Vẽ các vectơ có chung gốc, dựng hình bình hành, tính đường chéo. |
6. Lỗi sai thường gặp
- Viết |a→ + b→| = |a→| + |b→|. Chỉ đúng khi a→, b→ cùng hướng. Nói chung |a→ + b→| ≤ |a→| + |b→| (bất đẳng thức tam giác). Ví dụ ở trên: 3 + 4 = 7 nhưng |AB→ + AD→| = 5.
- Nhầm chiều quy tắc hiệu: viết MN→ = OM→ − ON→. Hãy nhớ “cuối trừ đầu”.
- Cộng hai vectơ không nối đuôi: AB→ + CD→ không bằng AD→. Phải ghép đúng điểm cuối của vectơ trước với điểm đầu vectơ sau.
- Dùng quy tắc hình bình hành sai đỉnh: AB→ + AD→ = AC→, nhưng AB→ + CD→ không phải đường chéo.
- Nhầm AB→ − AC→: theo quy tắc hiệu, AB→ − AC→ = CB→ (cuối B, đầu C), không phải BC→.
7. Bài tập tự luyện có đáp án
Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh: AB→ + CD→ = AD→ + CB→.
Đáp án. Biến đổi tương đương: AB→ − AD→ = CB→ − CD→. Theo quy tắc hiệu, AB→ − AD→ = DB→ và CB→ − CD→ = DB→. Hai vế bằng nhau nên đẳng thức đúng.
Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính |AB→ + AC→| và |AB→ − AC→|.
Đáp án. Gọi M là trung điểm BC. Dựng hình bình hành ABDC có tâm M: AB→ + AC→ = AD→ = 2·AM→, độ dài 2·(a√3/2) = a√3. Còn AB→ − AC→ = CB→, độ dài a.
Bài 3. Hai lực F₁→ và F₂→ cùng độ lớn 100 N, cùng tác dụng lên một vật tại A, hợp với nhau góc 120°. Tính độ lớn hợp lực.
Đáp án. Dựng hình thoi ABCD cạnh 100 với góc A = 120°, hợp lực là AC→. Góc B = 60° và BA = BC nên tam giác ABC đều, vậy AC = 100. Hợp lực có độ lớn 100 N.
Bài 4. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh với điểm O bất kì: OA→ + OB→ + OC→ = 3·OG→.
Gợi ý. Viết OA→ = OG→ + GA→, OB→ = OG→ + GB→, OC→ = OG→ + GC→ rồi cộng lại, dùng GA→ + GB→ + GC→ = 0→.
Tài liệu học tiếp Bài 8
- Giải SGK Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
- Sách bài tập Toán 10 Bài 8
- 20 câu trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ
- Lý thuyết Bài 9: Tích của một vectơ với một số
- Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức
Câu hỏi thường gặp
Hiệu của hai vectơ a và b được tính như thế nào?
Hiệu a − b bằng a cộng với vectơ đối của b, tức a + (−b). Với ba điểm O, M, N, ta dùng quy tắc hiệu MN→ = ON→ − OM→ (cuối trừ đầu).
Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành khác nhau thế nào?
Quy tắc ba điểm dùng khi hai vectơ nối đuôi: AB→ + BC→ = AC→. Quy tắc hình bình hành dùng khi hai vectơ chung điểm đầu: AB→ + AD→ = AC→ với ABCD là hình bình hành.
Khi nào |a + b| = |a| + |b|?
Khi hai vectơ a và b cùng hướng. Trường hợp khác chỉ có |a + b| ≤ |a| + |b|, dấu bằng không xảy ra.
Hệ thức nào nhận biết trung điểm và trọng tâm?
I là trung điểm AB khi IA→ + IB→ = 0→. G là trọng tâm tam giác ABC khi GA→ + GB→ + GC→ = 0→.