Vẽ đồ thị hàm số y=x^2-4x+3: đỉnh (2, -1), nghiệm 1 và 3
Lớp 10Toán

Vẽ đồ thị hàm số y = x² – 4x + 3: các bước và bảng giá trị

Trả lời nhanh

Đồ thị hàm số y = x² – 4x + 3 là một parabol có bề lõm hướng lên (vì a = 1 > 0), đỉnh I(2; –1), trục đối xứng là đường thẳng x = 2. Parabol cắt trục hoành tại A(1; 0), B(3; 0) và cắt trục tung tại C(0; 3). Nối các điểm bằng một đường cong trơn là được đồ thị.

Bước 1: Xác định hệ số và hướng của parabol

Hàm số có dạng y = ax² + bx + c với a = 1, b = –4, c = 3.

  • a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên, đỉnh là điểm thấp nhất.
  • Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

Bước 2: Tìm đỉnh và trục đối xứng

Hoành độ đỉnh: xI = –b/(2a) = 4/2 = 2.

Tung độ đỉnh: yI = 2² – 4·2 + 3 = 4 – 8 + 3 = –1. Vậy I(2; –1).

Cách kiểm tra nhanh bằng hoàn thành bình phương: y = x² – 4x + 4 – 1 = (x – 2)² – 1. Vì (x – 2)² ≥ 0 nên y ≥ –1, dấu bằng khi x = 2. Kết quả khớp với đỉnh vừa tìm.

Trục đối xứng: đường thẳng x = 2.

Bước 3: Tìm giao điểm với các trục tọa độ

  • Với trục tung (Oy): cho x = 0 thì y = 3, được điểm C(0; 3).
  • Với trục hoành (Ox): giải x² – 4x + 3 = 0. Ta có a + b + c = 1 – 4 + 3 = 0 nên x = 1 và x = c/a = 3. Được A(1; 0) và B(3; 0).

Mẹo: khi a + b + c = 0, phương trình bậc hai luôn có nghiệm x = 1 và nghiệm còn lại là c/a.

Bước 4: Lập bảng giá trị

Chọn các điểm đối xứng nhau qua x = 2 để vẽ nhanh, chỉ cần tính một nửa rồi lấy đối xứng.

x –1 0 1 2 3 4 5
y 8 3 0 –1 0 3 8

Ví dụ x = –1: y = 1 + 4 + 3 = 8. Điểm đối xứng của nó qua x = 2 là x = 5, cũng có y = 8.

Bước 5: Vẽ đồ thị

Vẽ hệ trục Oxy, đánh dấu các điểm trong bảng, vẽ đường thẳng x = 2 bằng nét đứt, rồi nối các điểm bằng một đường cong trơn, đi qua đỉnh I.

Đồ thị parabol y = x² – 4x + 3 với đỉnh I(2; –1), trục đối xứng x = 2 và các giao điểm với trục tọa độ
Đồ thị hàm số y = x² – 4x + 3: parabol bề lõm hướng lên, đỉnh I(2; –1).

Bước 6: Sự biến thiên

Khoảng Kết luận
(–∞; 2) Hàm số nghịch biến (đồ thị đi xuống)
(2; +∞) Hàm số đồng biến (đồ thị đi lên)
Giá trị nhỏ nhất y = –1 khi x = 2
Tập giá trị [–1; +∞)

Lỗi sai thường gặp

  • Viết sai dấu hoành độ đỉnh: xI = –b/(2a) với b = –4 phải ra +2, không phải –2.
  • Chỉ lấy 3 điểm rồi vẽ đường gấp khúc. Parabol phải là đường cong trơn, không có góc nhọn ở đỉnh.
  • Vẽ hai nhánh không đối xứng. Hãy dùng trục x = 2 để kiểm tra.
  • Nhầm hướng bề lõm. Chỉ cần nhìn dấu của a.

Bài tập tự luyện

  1. Vẽ đồ thị hàm số y = x² – 2x – 3.
    Gợi ý đáp án: đỉnh I(1; –4), trục x = 1, cắt Ox tại (–1; 0) và (3; 0), cắt Oy tại (0; –3).
  2. Vẽ đồ thị hàm số y = –x² + 4x – 3.
    Gợi ý đáp án: a = –1 < 0 nên bề lõm hướng xuống, đỉnh I(2; 1), cắt Ox tại (1; 0) và (3; 0), cắt Oy tại (0; –3). Đồ thị này đối xứng với đồ thị bài chính qua trục hoành, tức là hàm số cũ nhân với –1.
  3. Dựa vào đồ thị y = x² – 4x + 3, tìm x để y < 0.
    Đáp án: parabol nằm dưới trục hoành khi 1 < x < 3.

Câu hỏi thường gặp

Đỉnh của parabol y = x² – 4x + 3 là điểm nào?

Đỉnh là I(2; –1). Hoành độ x = –b/(2a) = 4/2 = 2, thay vào hàm số được y = 4 – 8 + 3 = –1.

Đồ thị y = x² – 4x + 3 cắt trục hoành tại những điểm nào?

Giải x² – 4x + 3 = 0 được x = 1 và x = 3, nên đồ thị cắt trục hoành tại (1; 0) và (3; 0).

Hàm số y = x² – 4x + 3 đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?

Hàm số nghịch biến trên (–∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞), vì a > 0 và hoành độ đỉnh bằng 2.

Với giá trị nào của x thì y < 0?

Đồ thị nằm dưới trục hoành khi 1 < x < 3, tức là giữa hai giao điểm với trục Ox.

Bài học liên quan