Trả lời nhanh
Để tìm tọa độ vectơ AB→ khi biết A(xA; yA) và B(xB; yB), ta lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu: AB→ = (xB − xA; yB − yA). Nếu vectơ cho dưới dạng a→ = x·i→ + y·j→ thì tọa độ của nó chính là cặp số (x; y).
1. Hệ trục tọa độ Oxy
Trục tọa độ là một đường thẳng có điểm gốc O và một vectơ đơn vị e→ (độ dài bằng 1). Hệ trục tọa độ Oxy gồm hai trục vuông góc với nhau tại O: trục hoành Ox với vectơ đơn vị i→ và trục tung Oy với vectơ đơn vị j→.
Mặt phẳng đã chọn hệ trục Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy. Hai vectơ i→, j→ có |i→| = |j→| = 1 và i→ ⊥ j→, nên i→·j→ = 0, i→² = j→² = 1. Ba đẳng thức này là nền tảng để chứng minh công thức tích vô hướng bằng tọa độ.
2. Tọa độ của vectơ và của điểm
2.1. Tọa độ của vectơ
Với mỗi vectơ a→ trong mặt phẳng Oxy luôn có duy nhất cặp số (x; y) sao cho a→ = x·i→ + y·j→. Cặp (x; y) là tọa độ của a→, viết a→ = (x; y); x là hoành độ, y là tung độ.
- a→ = 4i→ − 3j→ ⇒ a→ = (4; −3).
- b→ = 5j→ = 0·i→ + 5j→ ⇒ b→ = (0; 5).
- c→ = (−1; 2) ⇒ c→ = −i→ + 2j→.
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi hoành độ bằng hoành độ, tung độ bằng tung độ: (x; y) = (x’; y’) ⇔ x = x’ và y = y’.
2.2. Tọa độ của điểm
Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ OM→. Như vậy M(x; y) ⇔ OM→ = x·i→ + y·j→. Điểm nằm trên trục Ox có tung độ bằng 0, điểm nằm trên Oy có hoành độ bằng 0.
2.3. Tọa độ vectơ AB→ – công thức quan trọng nhất của bài
Vì AB→ = OB→ − OA→ nên với A(xA; yA), B(xB; yB):
AB→ = (xB − xA; yB − yA)
Mẹo nhớ: “cuối trừ đầu”. Hình dưới minh hoạ với A(2; −1), B(5; 3): đi từ A sang B phải “sang phải” 3 đơn vị và “lên” 4 đơn vị.
3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho a→ = (a1; a2), b→ = (b1; b2) và số thực k:
| Phép toán | Kết quả |
|---|---|
| a→ + b→ | (a1 + b1; a2 + b2) |
| a→ − b→ | (a1 − b1; a2 − b2) |
| k·a→ | (k·a1; k·a2) |
| a→·b→ | a1b1 + a2b2 (là một số, không phải vectơ) |
Ví dụ 1. Cho a→ = (3; −2), b→ = (−1; 4). Tính a→ + b→, a→ − b→, 2a→ − 3b→ và a→·b→.
- a→ + b→ = (3 + (−1); −2 + 4) = (2; 2).
- a→ − b→ = (3 − (−1); −2 − 4) = (4; −6).
- 2a→ = (6; −4), 3b→ = (−3; 12) nên 2a→ − 3b→ = (6 + 3; −4 − 12) = (9; −16).
- a→·b→ = 3·(−1) + (−2)·4 = −3 − 8 = −11.
4. Các công thức ứng dụng
| Nội dung | Công thức |
|---|---|
| Độ dài vectơ a→ = (a1; a2) | |a→| = √(a1² + a2²) |
| Khoảng cách hai điểm A, B | AB = |AB→| = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) |
| Góc giữa hai vectơ khác 0→ | cos(a→, b→) = (a1b1 + a2b2) / (√(a1² + a2²) · √(b1² + b2²)) |
| Hai vectơ vuông góc | a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 |
| Hai vectơ cùng phương (b→ ≠ 0→) | a→ = k·b→ ⇔ a1b2 − a2b1 = 0 |
| Trung điểm M của AB | M((xA + xB)/2; (yA + yB)/2) |
| Trọng tâm G của tam giác ABC | G((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3) |
Vì sao điều kiện vuông góc là tích vô hướng bằng 0? Vì a→·b→ = |a→|·|b→|·cos(a→, b→); với hai vectơ khác 0→ thì tích bằng 0 chỉ khi cos = 0, tức góc 90°.
5. Các dạng bài thường gặp và cách giải
Dạng 1: Tìm tọa độ vectơ, độ dài đoạn thẳng
Ví dụ 2. Cho A(2; −1), B(5; 3). Tìm tọa độ AB→ và độ dài AB.
AB→ = (5 − 2; 3 − (−1)) = (3; 4). AB = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Dạng 2: Tìm đỉnh còn lại của hình bình hành
Ví dụ 3. Cho A(1; 2), B(4; 3), C(6; 7). Tìm D để ABCD là hình bình hành.
ABCD là hình bình hành ⇔ AB→ = DC→. Ta có AB→ = (3; 1), DC→ = (6 − xD; 7 − yD). Suy ra 6 − xD = 3 và 7 − yD = 1, vậy D(3; 6).
Kiểm tra: AD→ = (2; 4) và BC→ = (2; 4), bằng nhau nên kết quả đúng.
Dạng 3: Trung điểm, trọng tâm, góc trong tam giác
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(4; 2), C(2; 5). Tìm trọng tâm G, trung điểm của BC và góc A.
- G = ((1 + 4 + 2)/3; (1 + 2 + 5)/3) = (7/3; 8/3).
- Trung điểm BC: ((4 + 2)/2; (2 + 5)/2) = (3; 7/2).
- AB→ = (3; 1), AC→ = (1; 4); AB→·AC→ = 3 + 4 = 7; |AB→| = √10, |AC→| = √17.
- cos A = 7/√170 ≈ 0,537 nên góc A ≈ 57,5°.
Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng
Ví dụ 5. Cho A(1; 2), B(3; 6), C(m; 10). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
AB→ = (2; 4), AC→ = (m − 1; 8). Ba điểm thẳng hàng khi AB→ cùng phương AC→: 2·8 − 4·(m − 1) = 0 ⇔ m − 1 = 4 ⇔ m = 5.
Dạng 5: Hai vectơ vuông góc
Ví dụ 6. Tìm m để a→ = (m; 3) vuông góc b→ = (2; −4).
a→·b→ = 2m − 12 = 0 ⇔ m = 6.
6. Lỗi sai thường gặp
- Trừ ngược: viết AB→ = (xA − xB; …). Hãy nhớ “cuối trừ đầu”.
- Nhầm điểm với vectơ: tọa độ trung điểm, trọng tâm là cộng rồi chia; tọa độ vectơ AB→ là trừ.
- Quên dấu âm khi nhân: −3b→ với b→ = (2; −5) là (−6; 15), không phải (−6; −15).
- Tích vô hướng ra vectơ: a→·b→ luôn là một số thực.
- Chia cho 3 khi tính trọng tâm nhưng lại chia cho 2 như trung điểm.
7. Bài tự luyện có đáp án
- Cho A(−2; 3), B(4; −1). Tìm tọa độ AB→ và trung điểm M của AB.
- Cho a→ = (1; −2), b→ = (3; 1). Tính 2a→ + b→ và a→·b→.
- Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(4; 0), C(0; 3). Tìm trọng tâm G và độ dài BC.
Đáp án.
- AB→ = (4 − (−2); −1 − 3) = (6; −4); M = ((−2 + 4)/2; (3 − 1)/2) = (1; 1).
- 2a→ = (2; −4) nên 2a→ + b→ = (5; −3); a→·b→ = 1·3 + (−2)·1 = 1.
- G = (4/3; 1); BC→ = (−4; 3) nên BC = √(16 + 9) = 5.
8. Học tiếp và luyện tập
- Giải SGK Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ
- Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ
- 15 câu trắc nghiệm Tọa độ của vectơ có đáp án
- Lý thuyết Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
- Lý thuyết Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
- Lý thuyết Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ
Câu hỏi thường gặp
Cách tìm tọa độ vectơ AB khi biết tọa độ hai điểm A và B?
Lấy tọa độ điểm cuối B trừ tọa độ điểm đầu A: AB→ = (xB − xA; yB − yA). Ví dụ A(2; −1), B(5; 3) thì AB→ = (3; 4).
Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ khác nhau thế nào?
Tọa độ điểm M là tọa độ của vectơ OM→ với O là gốc tọa độ. Tọa độ vectơ AB→ là hiệu tọa độ hai điểm B và A, không phụ thuộc vị trí đặt vectơ.
Khi nào hai vectơ vuông góc, cùng phương theo tọa độ?
Vuông góc khi a1b1 + a2b2 = 0. Cùng phương (b khác vectơ không) khi a1b2 − a2b1 = 0.
Công thức tọa độ trung điểm và trọng tâm là gì?
Trung điểm AB: ((xA + xB)/2; (yA + yB)/2). Trọng tâm tam giác ABC: ((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3).