Tứ phân vị Toán 10: Số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Trả lời nhanh

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu gồm số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt. Tứ phân vị gồm Q₁, Q₂, Q₃: Q₂ chính là trung vị, Q₁ là trung vị của nửa dưới, Q₃ là trung vị của nửa trên. Khi cỡ mẫu n lẻ, giá trị trung vị không được tính vào hai nửa.

1. Số trung bình

Với mẫu số liệu x₁, x₂, …, x_n, số trung bình (kí hiệu x̄) là tổng các giá trị chia cho cỡ mẫu n:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n

Nếu mẫu cho dưới dạng bảng tần số (giá trị x₁, …, x_k với tần số n₁, …, n_k) thì:

x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + n_kx_k) / n, với n = n₁ + n₂ + … + n_k.

Viết qua tần số tương đối f_i = n_i/n, ta có x̄ = f₁x₁ + … + f_kx_k.

Ý nghĩa: số trung bình đại diện cho cả mẫu. Điểm yếu của nó là rất nhạy với giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ).

Ví dụ 1

Số tiền ăn sáng (nghìn đồng) của 7 bạn trong một buổi: 15; 20; 20; 25; 30; 20; 90. Tính số trung bình.

Giải. x̄ = (15 + 20 + 20 + 25 + 30 + 20 + 90)/7 = 220/7 ≈ 31,4 (nghìn đồng).

Để ý: 6 trong 7 bạn chi không quá 30 nghìn, nhưng số trung bình lại là 31,4. Giá trị 90 đã “kéo” trung bình lên. Đây là lý do ta cần thêm trung vị.

2. Trung vị

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n. Trung vị M_e là giá trị ở chính giữa:

n = 2k + 1 (lẻ): M_e = x_k+1.
n = 2k (chẵn): M_e = (x_k + x_k+1)/2.

Ý nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu lớn hơn hoặc bằng M_e và ít nhất 50% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng M_e. Thêm một giá trị cực lớn hay cực nhỏ vào mẫu thì trung vị thay đổi rất ít.

Ví dụ 2 (tiếp Ví dụ 1)

Sắp xếp: 15; 20; 20; 20; 25; 30; 90. Cỡ mẫu n = 7 = 2·3 + 1 nên M_e = x₄ = 20 (nghìn đồng). Con số 20 phản ánh đúng mức chi tiêu “điển hình” của nhóm hơn là 31,4.

3. Tứ phân vị

3.1. Định nghĩa và cách tìm

Tứ phân vị là ba giá trị Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần có số liệu xấp xỉ bằng nhau. Cách làm theo từng bước:

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm.
Tìm trung vị Q₂ = M_e. Trung vị chia mẫu thành nửa dưới và nửa trên.
Q₁ là trung vị của nửa dưới (các số liệu đứng trước Q₂).
Q₃ là trung vị của nửa trên (các số liệu đứng sau Q₂).

Lưu ý quan trọng: nếu n lẻ thì chính giá trị trung vị x_k+1 bị loại ra khỏi cả hai nửa; nếu n chẵn thì mỗi nửa có đúng n/2 số liệu.

3.2. Ý nghĩa

Q₁: khoảng 25% số liệu không vượt quá Q₁.
Q₂: khoảng 50% số liệu không vượt quá Q₂.
Q₃: khoảng 75% số liệu không vượt quá Q₃.

Hiệu Q₃ − Q₁ (khoảng tứ phân vị) thuộc nhóm số đo độ phân tán, sẽ học ở bài sau: xem phần liên kết bên dưới hoặc Lý thuyết Các số đặc trưng đo mức độ phân tán.

Ví dụ 3: cỡ mẫu lẻ

Số trang sách (chục trang) mà 9 bạn đọc trong tuần: 7; 3; 11; 5; 20; 8; 13; 6; 10. Tìm các tứ phân vị.

Giải. Sắp xếp: 3; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 13; 20. Vì n = 9 nên Q₂ = x₅ = 8.

Nửa dưới (bỏ số 8): 3; 5; 6; 7 → Q₁ = (5 + 6)/2 = 5,5.
Nửa trên (bỏ số 8): 10; 11; 13; 20 → Q₃ = (11 + 13)/2 = 12.

Vậy Q₁ = 5,5; Q₂ = 8; Q₃ = 12.

Trục số biểu diễn mẫu 3; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 13; 20 với Q1 = 5,5, Q2 = 8, Q3 = 12 — Vị trí các tứ phân vị của mẫu số liệu trong Ví dụ 3.

Ví dụ 4: cỡ mẫu chẵn

Số quyển truyện đọc trong học kì của 12 bạn (đã sắp xếp): 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 8; 9; 12.

Giải. n = 12 nên Q₂ = (x₆ + x₇)/2 = (4 + 5)/2 = 4,5.

Nửa dưới gồm 6 số: 1; 2; 2; 3; 4; 4 → Q₁ = (2 + 3)/2 = 2,5.
Nửa trên gồm 6 số: 5; 6; 6; 8; 9; 12 → Q₃ = (6 + 8)/2 = 7.

Số trung bình của mẫu này là 62/12 ≈ 5,17, lớn hơn trung vị 4,5 vì các giá trị lớn (9; 12) kéo trung bình lên.

Ví dụ 5: mẫu cho bằng bảng tần số

Số anh chị em ruột của 30 học sinh lớp 10A:

Số anh chị em	0	1	2	3
Tần số	4	15	8	3

Giải. Tần số tích luỹ: giá trị 0 chiếm vị trí 1–4; giá trị 1 chiếm vị trí 5–19; giá trị 2 chiếm vị trí 20–27; giá trị 3 chiếm vị trí 28–30.

Trung bình: (0·4 + 1·15 + 2·8 + 3·3)/30 = 40/30 ≈ 1,33.
n = 30 nên Q₂ = (x₁₅ + x₁₆)/2 = (1 + 1)/2 = 1.
Nửa dưới là x₁…x₁₅ (15 số), trung vị là x₈ = 1 → Q₁ = 1.
Nửa trên là x₁₆…x₃₀, trung vị là số thứ 8 của nửa này, tức x₂₃ = 2 → Q₃ = 2.

Mẹo: với bảng tần số, đừng viết lại cả dãy; chỉ cần lập cột tần số tích luỹ rồi “tra” vị trí.

4. Mốt

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất (tần số lớn nhất), kí hiệu M_o. Một mẫu có thể có một mốt, nhiều mốt, và nếu mọi giá trị có tần số bằng nhau thì không có ý nghĩa chọn mốt.

Mốt đặc biệt hữu ích với dữ liệu không phải số, ví dụ cỡ giày bán chạy nhất hay môn thể thao được yêu thích nhất, vì khi đó không thể tính trung bình.

Trong Ví dụ 1, giá trị 20 xuất hiện 3 lần nên M_o = 20. Trong Ví dụ 5, giá trị 1 có tần số 15 là lớn nhất nên M_o = 1.

5. Khi nào dùng số đặc trưng nào?

Số đặc trưng	Dùng khi	Nhược điểm
Số trung bình	Số liệu khá đồng đều, không có giá trị bất thường	Bị kéo lệch bởi giá trị quá lớn/nhỏ
Trung vị	Có giá trị bất thường, muốn biết mức “ở giữa”	Không dùng hết thông tin của từng số liệu
Tứ phân vị	Muốn biết cách số liệu phân bố ở 25%, 50%, 75%	Cần sắp xếp mẫu; mẫu quá nhỏ thì kém ý nghĩa
Mốt	Quan tâm giá trị phổ biến nhất, kể cả dữ liệu định tính	Có thể không duy nhất

6. Lỗi sai thường gặp

Quên sắp xếp trước khi tìm trung vị hay tứ phân vị. Đây là lỗi mất điểm phổ biến nhất.
Với n lẻ, vẫn giữ trung vị trong hai nửa khi tìm Q₁, Q₃. Theo chương trình, phải loại nó ra.
Chia sai mẫu số khi dùng bảng tần số: phải chia cho n (tổng tần số), không chia cho số giá trị k.
Nhầm trung vị với trung bình trong bài so sánh có giá trị ngoại lai.
Kết luận mốt bằng tần số lớn nhất, chứ không phải giá trị lớn nhất.

Mẹo nhớ: “Sắp – Giữa – Hai nửa – Giữa hai nửa”. Sắp xếp, tìm giữa (Q₂), chia hai nửa, tìm giữa mỗi nửa (Q₁, Q₃).

7. Bài luyện tập có đáp án

Bài 1. Điểm kiểm tra của 8 bạn: 6; 8; 7; 9; 7; 10; 7; 8. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và Q₁, Q₃.

Đáp án. Tổng = 62 nên x̄ = 62/8 = 7,75. Sắp xếp: 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 10. M_e = (7 + 8)/2 = 7,5; M_o = 7. Nửa dưới 6; 7; 7; 7 → Q₁ = 7. Nửa trên 8; 8; 9; 10 → Q₃ = (8 + 9)/2 = 8,5.

Bài 2. Tìm tứ phân vị của mẫu: 1; 3; 4; 4; 6; 7; 9; 10; 12; 15; 18.

Đáp án. n = 11, Q₂ = x₆ = 7. Nửa dưới (1; 3; 4; 4; 6) → Q₁ = 4. Nửa trên (9; 10; 12; 15; 18) → Q₃ = 12.

Bài 3. Điểm của 20 bạn: điểm 6 có 3 bạn, điểm 7 có 7 bạn, điểm 8 có 6 bạn, điểm 9 có 4 bạn. Tính điểm trung bình, trung vị và mốt.

Đáp án. x̄ = (18 + 49 + 48 + 36)/20 = 151/20 = 7,55. Vị trí: điểm 6 chiếm 1–3, điểm 7 chiếm 4–10, điểm 8 chiếm 11–16. Vậy x₁₀ = 7, x₁₁ = 8 nên M_e = 7,5. M_o = 7 (tần số 7).

Học tiếp

Lý thuyết Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Lý thuyết Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán
Giải SGK Toán 10 Bài 3
Sách bài tập Toán 10 Bài 3
20 câu trắc nghiệm có đáp án
Lý thuyết Toán 10 Chương 6: Thống kê

Câu hỏi thường gặp

Tứ phân vị là gì trong Toán 10?

Tứ phân vị gồm ba giá trị Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số liệu xấp xỉ bằng nhau. Q2 là trung vị, Q1 là trung vị của nửa dưới, Q3 là trung vị của nửa trên.

Khi cỡ mẫu lẻ, có tính trung vị vào hai nửa khi tìm Q1 và Q3 không?

Không. Với n lẻ, giá trị trung vị được loại ra, Q1 là trung vị của các số liệu đứng trước nó và Q3 là trung vị của các số liệu đứng sau nó.

Khi nào nên dùng trung vị thay cho số trung bình?

Khi mẫu có giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với phần còn lại. Số trung bình bị kéo lệch bởi những giá trị này, còn trung vị ít bị ảnh hưởng nên phản ánh tốt hơn mức điển hình.

Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt không?

Có. Nếu có nhiều giá trị cùng đạt tần số lớn nhất thì mẫu có nhiều mốt. Mốt cũng dùng được cho dữ liệu không phải số.