Trả lời nhanh
Số chia cho 3 và cho 4 đều dư 2 thì hiệu của nó với 2 chia hết cho cả 3 và 4, tức chia hết cho 12. Vậy các số đó có dạng 12k + 2: 2, 14, 26, 38, 50, 62, … Các kết quả thuận lợi của biến cố chính là những số dạng này nằm trong tập số ghi trên thẻ.
Đề gốc của câu hỏi này bị cắt ở phần sau (“Nếu những…”), nên ta không biết chính xác các thẻ được đánh số từ mấy đến mấy. Vì vậy bài viết giải theo phương pháp và lấy ví dụ tự đặt; bạn chỉ cần thay khoảng số trong đề của mình vào là làm được.
Bước 1: Dịch điều kiện “chia 3 và 4 đều dư 2”
Gọi số trên thẻ là x. Điều kiện cho ta:
- x chia 3 dư 2 ⇒ x − 2 chia hết cho 3;
- x chia 4 dư 2 ⇒ x − 2 chia hết cho 4.
Vì 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên x − 2 chia hết cho BCNN(3, 4) = 12. Suy ra x − 2 = 12k, hay x = 12k + 2 (k = 0, 1, 2, …).
Bước 2: Liệt kê kết quả thuận lợi trong khoảng đã cho
Ta cho k chạy lần lượt rồi dừng khi vượt quá số lớn nhất trên thẻ.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = 12k + 2 | 2 | 14 | 26 | 38 | 50 | 62 | 74 | 86 | 98 |
Kiểm tra nhanh: 14 chia 3 được 4 dư 2, chia 4 được 3 dư 2 ✓. Số 26 chia 3 được 8 dư 2, chia 4 được 6 dư 2 ✓.
Ví dụ minh hoạ (số liệu tự đặt)
Ví dụ 1. Hộp có 20 thẻ đánh số từ 1 đến 20, rút ngẫu nhiên một thẻ. Biến cố A: “số trên thẻ chia 3 và 4 đều dư 2”.
- Không gian mẫu có 20 kết quả đồng khả năng.
- Kết quả thuận lợi cho A: {2; 14}, gồm 2 phần tử (26 đã vượt quá 20).
- P(A) = 2/20 = 1/10.
Ví dụ 2. Với 100 thẻ đánh số từ 1 đến 100, các kết quả thuận lợi là 2, 14, 26, 38, 50, 62, 74, 86, 98 (9 số). Vậy P(A) = 9/100.
Muốn đếm nhanh không cần liệt kê: số phần tử bằng số k thoả 12k + 2 ≤ n, tức k ≤ (n − 2)/12. Với n = 100 thì k ≤ 8,17 nên k = 0, …, 8 – có 9 số.
Lỗi sai thường gặp
- Bỏ sót số 2. Số 2 chia 3 dư 2 và chia 4 dư 2 (thương bằng 0), nên nó thuộc biến cố. Nhiều bạn chỉ bắt đầu từ 14.
- Nhầm “và” với “hoặc”. “Đều dư 2” nghĩa là thoả cả hai điều kiện cùng lúc. Nếu liệt kê riêng các số chia 3 dư 2 (2, 5, 8, 11, 14, …) và chia 4 dư 2 (2, 6, 10, 14, …) rồi lấy phần chung thì ra 2, 14, 26, … Lấy hợp là sai.
- Dùng BCNN sai. Phải trừ 2 trước rồi mới chia hết cho 12; số chia hết cho 12 (12, 24, …) thì dư 0, không phải dư 2.
Mẹo nhớ
“Cùng dư r khi chia cho a và b” ⇒ số có dạng BCNN(a, b)·k + r. Với 3 và 4: 12k + 2. Cách này dùng được cho mọi đề cùng kiểu, chỉ cần r nhỏ hơn cả a và b.
Bài luyện tập
- Hộp có 30 thẻ đánh số từ 1 đến 30. Tính xác suất rút được thẻ có số chia 3 và 4 đều dư 2.
Đáp án: các số 2, 14, 26 ⇒ P = 3/30 = 1/10. - Hộp có 50 thẻ đánh số từ 1 đến 50. Tính xác suất rút được thẻ có số chia 3 và 5 đều dư 1.
Đáp án: x = 15k + 1 ⇒ 1, 16, 31, 46 (4 số) ⇒ P = 4/50 = 2/25. - Trong các số từ 1 đến 60, có bao nhiêu số chia 3 và 4 đều dư 2?
Đáp án: 12k + 2 ≤ 60 ⇒ k ≤ 4,83 ⇒ k = 0, …, 4 ⇒ 5 số: 2, 14, 26, 38, 50.
Câu hỏi thường gặp
Số chia cho 3 và 4 đều dư 2 có dạng gì?
Có dạng 12k + 2 với k là số tự nhiên, vì x − 2 phải chia hết cho BCNN(3, 4) = 12. Các số đầu tiên là 2, 14, 26, 38, 50.
Số 2 có thỏa mãn điều kiện chia 3 và 4 đều dư 2 không?
Có. 2 = 3·0 + 2 và 2 = 4·0 + 2, nên 2 chia cho 3 và cho 4 đều dư 2. Đây là kết quả thuận lợi hay bị bỏ sót.
Làm sao tính xác suất của biến cố này?
Đếm số kết quả thuận lợi (các số dạng 12k + 2 trong khoảng của đề) rồi chia cho tổng số thẻ. Ví dụ với 20 thẻ đánh số 1–20: có 2 số (2 và 14) nên xác suất là 1/10.