Trả lời nhanh
Ngọn núi cao khoảng 135 m so với mặt đất (lấy A ở chân tòa nhà). Trong tam giác ABC có góc A = 60°, góc B = 105°30′, góc C = 14°30′. Dùng định lí sin tính được AC ≈ 269,4 m, rồi chiều cao núi h = AC·sin 30° ≈ 134,7 m.
Đề bài
Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Lấy độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30′. Hỏi ngọn núi cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
Hiểu đề và vẽ hình
AB là đoạn thẳng đứng dài 70 m. Vì góc nhìn từ A (30°) lớn hơn góc nhìn từ B (15°30′) nên A phải là điểm thấp hơn, B là điểm cao hơn: càng đứng gần chân núi và thấp thì phải ngước lên càng nhiều. Ta coi A ở sát mặt đất để “độ cao so với mặt đất” chính là độ cao của C so với A.
Lời giải chi tiết
Bước 1: Tìm các góc của tam giác ABC
- Góc A: AB thẳng đứng hướng lên, AC hợp với phương ngang 30° nên góc BAC = 90° − 30° = 60°.
- Góc B: BA hướng xuống, BC hợp với phương ngang (phía trên) 15°30′ nên góc ABC = 90° + 15°30′ = 105°30′.
- Góc C = 180° − 60° − 105°30′ = 14°30′.
Bước 2: Dùng định lí sin để tính AC
Theo định lí sin: AC / sin B = AB / sin C, suy ra
AC = AB · sin 105°30′ / sin 14°30′ = 70 · 0,9636 / 0,2504 ≈ 269,4 m.
(Lưu ý sin 105°30′ = cos 15°30′ ≈ 0,9636.)
Bước 3: Tính chiều cao của núi
Gọi H là hình chiếu của C xuống mặt đất, tam giác ACH vuông tại H với góc CAH = 30°. Khi đó
h = CH = AC · sin 30° ≈ 269,4 · 0,5 ≈ 134,7 m ≈ 135 m.
Kiểm tra bằng cách giải khác
Tính BC = AB · sin A / sin C = 70 · sin 60° / sin 14°30′ ≈ 70 · 0,8660 / 0,2504 ≈ 242,1 m. Độ cao C so với B là 242,1 · sin 15°30′ ≈ 242,1 · 0,2672 ≈ 64,7 m. Cộng thêm AB = 70 m được 134,7 m. Hai cách cho cùng kết quả nên đáp số đáng tin.
Vì sao dùng định lí sin?
Trong tam giác ABC ta biết một cạnh (AB) và cả ba góc, nhưng chưa biết cạnh nào còn lại. “Biết một cạnh và các góc” là dấu hiệu điển hình để dùng định lí sin. Định lí cosin chỉ cần khi cho hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh.
Lỗi sai thường gặp
- Tính nhầm góc A, B: lấy góc A = 30° và góc B = 15°30′ (chính là góc với phương ngang). Góc trong tam giác phải tính so với cạnh thẳng đứng AB.
- Quên cộng 70 m khi đi theo đường BC (chỉ ra được độ cao của C so với B).
- Để máy tính ở chế độ radian, kết quả sai hoàn toàn. Hãy chuyển về độ (DEG) và đổi 15°30′ = 15,5°.
- Làm tròn sớm: làm tròn sin 14°30′ thành 0,25 sẽ lệch vài mét. Giữ ít nhất 4 chữ số thập phân.
Mẹo nhớ
Bài toán đo chiều cao bằng hai điểm quan sát luôn đi theo ba bước: (1) vẽ hình, tính ba góc của tam giác; (2) dùng định lí sin để tìm cạnh nối tới đỉnh; (3) hạ đường vuông góc xuống mặt đất để ra độ cao.
Bài luyện tập tự đặt
Bài 1. Với cùng cách đặt hình, nếu AB = 50 m, góc nhìn từ A là 40° và từ B là 25° thì đỉnh C cao bao nhiêu so với A?
Gợi ý – đáp án: góc A = 50°, góc B = 115°, góc C = 15°. AC = 50 · sin 115° / sin 15° ≈ 50 · 0,9063 / 0,2588 ≈ 175,1 m. Chiều cao h = AC · sin 40° ≈ 175,1 · 0,6428 ≈ 112,5 m.
Bài 2. Tại sao nếu hai góc nhìn bằng nhau thì không xác định được C?
Đáp án: hai tia AC và BC khi đó song song, không cắt nhau nên không có điểm C (góc C = 0°).
Câu hỏi thường gặp
Ngọn núi trong bài toán cao bao nhiêu mét?
Khoảng 135 m so với mặt đất (tính được 134,7 m khi lấy A ở sát mặt đất).
Vì sao góc BAC bằng 60° mà không phải 30°?
Góc 30° là góc giữa AC và phương ngang. Còn góc BAC nằm giữa AC và AB (thẳng đứng) nên bằng 90° − 30° = 60°.
Vì sao góc ABC bằng 105°30'?
Từ B, tia BA hướng thẳng xuống, tia BC hướng lên cao hơn phương ngang 15°30'. Góc giữa chúng là 90° + 15°30' = 105°30'.
Bài toán này thuộc phần kiến thức nào của Toán 10?
Thuộc chương hệ thức lượng trong tam giác: định lí sin, định lí cosin và ứng dụng đo đạc thực tế.