Trả lời nhanh
Đề bài không kèm phương án nên ta nêu các khẳng định đúng với mọi tam giác ABC (a = BC, b = CA, c = AB): định lí côsin a² = b² + c² − 2bc·cos A và định lí sin a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Phát biểu nào đổi dấu, đổi góc hoặc đổi cạnh so với hai hệ thức này đều là phát biểu sai.
Quy ước kí hiệu
Trong tam giác ABC, cạnh được đặt tên theo đỉnh đối diện: a = BC (đối diện A), b = CA (đối diện B), c = AB (đối diện C). Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp, p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.
Nhớ quy tắc: cạnh nào đứng ở vế trái thì góc ở vế phải (trong hàm côsin) là góc đối diện với cạnh ấy.
Các khẳng định đúng với mọi tam giác ABC
| Tên hệ thức | Công thức đúng |
|---|---|
| Định lí côsin | a² = b² + c² − 2bc·cos A b² = a² + c² − 2ac·cos B c² = a² + b² − 2ab·cos C |
| Hệ quả của định lí côsin | cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) |
| Định lí sin | a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R |
| Độ dài trung tuyến | ma² = (2b² + 2c² − a²)/4 |
| Diện tích | S = ½·bc·sin A = abc/(4R) = p·r S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)] |
Vì sao định lí côsin có dấu trừ?
Định lí côsin là “Pythagore mở rộng”. Khi A = 90° thì cos A = 0 và công thức trở về a² = b² + c². Khi A nhọn, cos A > 0 nên a² nhỏ hơn b² + c²; khi A tù, cos A < 0 nên a² lớn hơn b² + c². Đó là lí do dấu phải là “−2bc·cos A”: nó cho biết góc A nhọn hay tù chỉ bằng cách so sánh a² với b² + c².
Những phát biểu sai thường gặp
| Phát biểu | Sai ở đâu |
|---|---|
| a² = b² + c² + 2bc·cos A | Sai dấu. Thử A = 90° vẫn đúng nên khó phát hiện; thử tam giác đều (a = b = c, A = 60°): vế phải = 2a² + a² = 3a² ≠ a². |
| a² = b² + c² − 2bc·cos B | Sai góc: phải dùng góc A đối diện với cạnh a. |
| a/sin B = b/sin A | Sai cặp: mỗi cạnh phải chia cho sin của góc đối diện nó. |
| a = R·sin A | Thiếu hệ số 2: đúng là a = 2R·sin A. |
| ma² = (b² + c² − a²)/2 | Sai công thức: đúng là (2b² + 2c² − a²)/4. |
| S = ½·bc·cos A | Nhầm sin thành cos: đúng là S = ½·bc·sin A. |
Mẹo loại trừ nhanh khi làm trắc nghiệm
- Thử tam giác vuông 3–4–5 (a = 3, b = 4, c = 5, góc C = 90°): công thức nào cho kết quả không khớp thì loại.
- Thử tam giác đều cạnh 1: A = B = C = 60°, sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.
- Kiểm tra “đối diện”: cạnh và góc cùng chữ cái (a với A, b với B, c với C).
- Kiểm tra đơn vị: vế trái là bình phương độ dài thì vế phải cũng phải là bình phương độ dài (b², c², bc…).
Bài luyện tập
Bài 1. Tam giác ABC có b = 5, c = 8, góc A = 60°. Tính a.
Giải: a² = 5² + 8² − 2·5·8·cos 60° = 25 + 64 − 40 = 49, suy ra a = 7.
Bài 2. Tam giác ABC có a = 6 và góc A = 30°. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
Giải: a/sin A = 2R ⇒ R = a/(2 sin A) = 6/(2·½) = 6.
Bài 3. Tam giác có a = 3, b = 4, c = 5. Tính cos A và độ dài trung tuyến mc.
Giải: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (16 + 25 − 9)/40 = 0,8. mc² = (2a² + 2b² − c²)/4 = (18 + 32 − 25)/4 = 25/4 nên mc = 2,5 — khớp với tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Lỗi sai hay gặp
- Viết đúng công thức nhưng thay nhầm cạnh vào vị trí a, b, c.
- Quên khai căn sau khi tính a², b² hoặc c².
- Bấm máy tính ở chế độ radian khi đề cho góc theo độ.
Câu hỏi thường gặp
Định lí côsin trong tam giác ABC viết thế nào?
Với a = BC, b = CA, c = AB: a² = b² + c² − 2bc·cos A, và tương tự b² = a² + c² − 2ac·cos B, c² = a² + b² − 2ab·cos C.
Định lí sin cho tam giác ABC phát biểu ra sao?
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Mỗi cạnh chia cho sin góc đối diện.
Làm sao biết góc A tù hay nhọn khi biết ba cạnh?
So sánh a² với b² + c². Nếu a² < b² + c² thì A nhọn, bằng thì A vuông, lớn hơn thì A tù (vì cos A có cùng dấu với b² + c² − a²).
Công thức tính độ dài trung tuyến m_a là gì?
m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4, với m_a là trung tuyến kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.