Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC với A(1;2), B(2;4), C(1;0)
Lớp 10Toán

Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC: cách làm và ví dụ

Trả lời nhanh

Gọi H(x; y) là trực tâm, ta có AH ⊥ BC và BH ⊥ AC, tức là AH·BC = 0 và BH·AC = 0 (tích vô hướng). Giải hệ hai phương trình này sẽ ra x, y. Với A(1; 2), B(2; 4), C(1; 0): BC = (−1; −4), AC = (0; −2), ta được x + 4y = 9 và y = 4, suy ra H(−7; 4).

Trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao. Hai đường cao cắt nhau tại một điểm thì đường cao thứ ba chắc chắn đi qua điểm đó, nên khi tính toạ độ ta chỉ cần dùng hai đường cao, rồi dùng đường cao thứ ba để kiểm tra lại.

Phương pháp chung

  1. Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC.
  2. Viết các vectơ AH = (x − xA; y − yA), BH = (x − xB; y − yB) và các vectơ cạnh BC, AC.
  3. Lập hệ: AH·BC = 0 và BH·AC = 0, trong đó tích vô hướng của hai vectơ (a; b) và (c; d) bằng ac + bd.
  4. Giải hệ tìm x, y. Kiểm tra lại bằng CH·AB = 0.

Cách thứ hai là viết phương trình hai đường cao rồi tìm giao điểm; hai cách cho cùng kết quả, nhưng cách tích vô hướng thường nhanh hơn vì không phải viết phương trình đường thẳng.

Ví dụ: A(1; 2), B(2; 4), C(1; 0)

Tính các vectơ cạnh: BC = (1 − 2; 0 − 4) = (−1; −4) và AC = (1 − 1; 0 − 2) = (0; −2).

Gọi H(x; y). Khi đó AH = (x − 1; y − 2) và BH = (x − 2; y − 4).

  • Từ AH·BC = 0 ta có −(x − 1) − 4(y − 2) = 0, tức là x + 4y = 9.
  • Từ BH·AC = 0 ta có 0·(x − 2) − 2(y − 4) = 0, suy ra y = 4.

Thay y = 4 vào phương trình đầu: x + 16 = 9, nên x = −7. Vậy H(−7; 4).

Kiểm tra: AB = (1; 2), CH = (−7 − 1; 4 − 0) = (−8; 4). CH·AB = −8 + 8 = 0, nên CH ⊥ AB. Kết quả đúng.

Em thấy H nằm ngoài tam giác. Điều này xảy ra khi tam giác có một góc tù. Ở ví dụ này góc tại A tù vì AB·AC = (1; 2)·(0; −2) = −4 < 0.

Nếu đề cho toạ độ khác dấu?

Cách làm không thay đổi, chỉ có số liệu thay đổi. Chẳng hạn với A(−1; 2), B(2; 4), C(1; 0): BC = (−1; −4), AC = (2; −2). Điều kiện AH·BC = 0 cho −(x + 1) − 4(y − 2) = 0, tức x + 4y = 7. Điều kiện BH·AC = 0 cho 2(x − 2) − 2(y − 4) = 0, tức y = x + 2. Thay vào: x + 4x + 8 = 7 nên x = −1/5, y = 9/5. Vậy H(−1/5; 9/5).

Trường hợp đặc biệt cần nhớ

  • Tam giác vuông tại A thì trực tâm H trùng với A.
  • Tam giác đều thì trực tâm trùng trọng tâm G, cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp.
  • Tam giác nhọn thì H nằm bên trong, tam giác tù thì H nằm bên ngoài.

Lỗi sai thường gặp

  • Nhầm vectơ: lấy AH·AB = 0 thay vì AH·BC = 0. Đường cao từ A vuông góc với cạnh đối diện BC, không phải cạnh kề.
  • Tính sai vectơ cạnh vì quên «điểm cuối trừ điểm đầu».
  • Nhầm trực tâm với trọng tâm. Trọng tâm G có toạ độ là trung bình cộng toạ độ ba đỉnh, còn trực tâm phải giải hệ.

Luyện tập

  1. Bài 1. Tìm trực tâm tam giác có A(0; 0), B(4; 0), C(1; 3). Đáp án: AH ⊥ BC: BC = (−3; 3) nên −3x + 3y = 0, tức y = x. BH ⊥ AC: AC = (1; 3) nên (x − 4) + 3y = 0. Thay y = x được 4x = 4, x = 1. Vậy H(1; 1).
  2. Bài 2. Tam giác có A(0; 0), B(3; 0), C(0; 4). Trực tâm ở đâu? Đáp án: Tam giác vuông tại A nên H trùng A, tức H(0; 0).

Câu hỏi thường gặp

Cách tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là gì?

Gọi H(x; y), lập hệ AH·BC = 0 và BH·AC = 0 bằng tích vô hướng, giải hệ để tìm x và y.

Trực tâm của tam giác A(1;2), B(2;4), C(1;0) có toạ độ bao nhiêu?

H(−7; 4), vì x + 4y = 9 và y = 4.

Trực tâm có thể nằm ngoài tam giác không?

Có. Với tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác.

Trực tâm khác trọng tâm ở điểm nào?

Trọng tâm là giao điểm ba trung tuyến, còn trực tâm là giao điểm ba đường cao; chỉ trùng nhau ở tam giác đều.

Bài học liên quan