Trả lời nhanh
Với hình vuông ABCD cạnh a, |AB + AD| = a√2. Theo quy tắc hình bình hành, vectơ AB + AD = vectơ AC, nên độ dài của nó chính là độ dài đường chéo AC. Đường chéo hình vuông cạnh a bằng a√2 (theo định lí Pythagore: AC² = a² + a² = 2a²).
Đề bài và hướng giải
Bài toán thường được phát biểu: «Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó độ lớn (độ dài) của vectơ AB + AD bằng bao nhiêu?». Đây là dạng tính độ dài tổng của hai vectơ chung gốc A, rất hay gặp ở bài «Tổng và hiệu của hai vectơ» (Toán 10).
Điều cần nhớ: độ dài của tổng hai vectơ không bằng tổng độ dài. Muốn tính, ta đưa tổng về một vectơ duy nhất rồi tính độ dài đoạn thẳng tương ứng.
Lời giải chi tiết
- Nhận dạng quy tắc. Hai vectơ AB và AD có chung điểm đầu A, và ABCD là hình bình hành (hình vuông cũng là hình bình hành). Áp dụng quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC.
- Chuyển về độ dài đoạn thẳng. |AB + AD| = |AC| = AC.
- Tính AC. Tam giác ABC vuông tại B có AB = BC = a nên AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a², suy ra AC = a√2.
Kết luận: |AB + AD| = a√2.
Vì sao không phải a hay 2a?
- Đáp số 2a là kết quả của |AB| + |AD| = a + a. Cách làm này sai vì hai vectơ AB và AD vuông góc, không cùng hướng; chỉ khi cùng hướng thì độ dài tổng mới bằng tổng độ dài.
- Đáp số a chỉ là độ dài một cạnh, không liên quan đến tổng AB + AD.
- Đáp số 0 xảy ra với hai vectơ đối nhau (ví dụ AB + CD), không phải trường hợp này.
Kiểm tra nhanh bằng bất đẳng thức: |AB + AD| phải nhỏ hơn a + a = 2a (vì hai vectơ không cùng hướng) và lớn hơn a. Giá trị a√2 ≈ 1,41a nằm đúng khoảng đó.
Cách kiểm tra bằng toạ độ
Chọn hệ trục với A là gốc, B(a; 0), D(0; a). Khi đó vectơ AB = (a; 0), AD = (0; a), nên AB + AD = (a; a) và độ dài là √(a² + a²) = a√2. Kết quả trùng với cách làm hình học.
Các biến thể hay gặp
| Biểu thức | Biến đổi | Kết quả |
|---|---|---|
| |AB + AD| | = |AC| | a√2 |
| |AB − AD| | = |DB| (hiệu hai vectơ chung gốc) | a√2 |
| |AB + BC| | = |AC| | a√2 |
| |AB + CD| | CD = −AB nên tổng bằng vectơ không | 0 |
Mẹo nhớ: chung gốc thì cộng theo hình bình hành, nối đuôi thì cộng theo quy tắc ba điểm, trừ hai vectơ chung gốc thì ra vectơ nối hai ngọn (hướng về vectơ bị trừ… chính xác: AB − AD = DB).
Lỗi sai thường gặp
- Cộng độ dài thay vì cộng vectơ rồi mới lấy độ dài.
- Viết nhầm AB − AD = BD (đúng phải là DB).
- Quên rằng đường chéo hình vuông cạnh a là a√2, không phải a√3 hay 2a.
Bài luyện tập có đáp án
- Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính |AB + AC + AD|.
Đáp án: AB + AD = AC nên tổng bằng 2·AC, độ dài là 2a√2. - Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính |AB − AC|.
Đáp án: AB − AC = CB, độ dài bằng a. - Cho hình vuông ABCD cạnh 3 cm. Tính |AB + AD|.
Đáp án: 3√2 cm ≈ 4,24 cm.
Câu hỏi thường gặp
Cho hình vuông ABCD cạnh a thì |AB + AD| bằng bao nhiêu?
Bằng a√2. Vì AB + AD = AC theo quy tắc hình bình hành và đường chéo AC của hình vuông cạnh a dài a√2.
Độ dài tổng hai vectơ có bằng tổng độ dài hai vectơ không?
Chỉ bằng khi hai vectơ cùng hướng. Nói chung ta có |u + v| ≤ |u| + |v|, nên với AB và AD vuông góc thì |AB + AD| = a√2 nhỏ hơn 2a.
|AB − AD| của hình vuông cạnh a bằng bao nhiêu?
Cũng bằng a√2, vì AB − AD = DB và DB là đường chéo còn lại của hình vuông.