Trả lời nhanh
Hình thoi ABCD có AC = 8, BD = 6 thì cạnh AB = 5. Khi đó |AB + AC| = 3√17 ≈ 12,37 (vì AB + AC = 2·AM, M là trung điểm BC), còn |AB − AC| = |CB| = BC = 5. Nếu đề của bạn là AB + AD thì kết quả là |AC| = 8.
Đề bài trên thường bị mất dấu “+” hoặc “−” khi sao chép nên bạn có thể gặp hai dạng: tính |AB + AC| hoặc |AB − AC| (các chữ AB, AC đều là vectơ). Dưới đây mình giải cả hai, bắt đầu từ bước chung là tìm độ dài cạnh hình thoi.
Bước chung: tìm cạnh hình thoi
Hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Do đó OA = AC/2 = 4 và OB = BD/2 = 3.
Tam giác OAB vuông tại O nên AB = √(OA² + OB²) = √(16 + 9) = 5. Vậy cả bốn cạnh đều bằng 5.
Cách 1: Dùng tọa độ (dễ tính nhất)
Chọn hệ trục có gốc O, trục Ox chứa AC, trục Oy chứa BD. Khi đó A(−4; 0), C(4; 0), B(0; 3), D(0; −3).
- Vectơ AB = (0 − (−4); 3 − 0) = (4; 3).
- Vectơ AC = (4 − (−4); 0 − 0) = (8; 0).
Tính |AB + AC|: AB + AC = (12; 3), nên |AB + AC| = √(12² + 3²) = √153 = 3√17 ≈ 12,37.
Tính |AB − AC|: AB − AC = (−4; 3), nên |AB − AC| = √(16 + 9) = 5.
Cách 2: Dùng quy tắc vectơ
Với |AB − AC|
Theo quy tắc hiệu: AB − AC = CB. Vậy |AB − AC| = CB = 5. Cách này không cần tính toán gì thêm ngoài độ dài cạnh.
Với |AB + AC|
Gọi M là trung điểm BC thì AB + AC = 2·AM. Tam giác ABC có AB = BC = 5, AC = 8. Áp dụng công thức trung tuyến: AM² = (2·AB² + 2·AC² − BC²)/4 = (50 + 128 − 25)/4 = 153/4.
Suy ra AM = √153/2 và |AB + AC| = 2·AM = √153 = 3√17. Kết quả trùng với cách 1.
Có thể kiểm tra thêm bằng tích vô hướng: AB·AC = 4·8 + 3·0 = 32, nên |AB + AC|² = 25 + 64 + 2·32 = 153. Đúng.
Bảng tổng hợp các biểu thức hay gặp
| Biểu thức | Rút gọn | Giá trị |
|---|---|---|
| |AB + AD| | = |AC| (quy tắc hình bình hành) | 8 |
| |AB − AD| | = |DB| | 6 |
| |AB − AC| | = |CB| | 5 |
| |AB + AC| | = 2·AM (M là trung điểm BC) | 3√17 ≈ 12,37 |
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm AB + AC với quy tắc hình bình hành. Quy tắc này chỉ cho AB + AD = AC (hai vectơ chung gốc A và là hai cạnh kề). AB và AC không phải hai cạnh kề của hình bình hành ABCD nên không áp dụng được.
- Cộng độ dài thay vì cộng vectơ. |AB + AC| ≠ AB + AC = 5 + 8 = 13. Hai vectơ không cùng hướng nên độ dài tổng nhỏ hơn tổng độ dài.
- Quên chia đôi đường chéo. Dùng AC = 8 làm OA thay vì 4 sẽ ra cạnh sai.
Mẹo nhớ: gặp hình thoi hay hình chữ nhật, hãy đặt tâm O làm gốc tọa độ, hai đường chéo làm hai trục, mọi vectơ sẽ tính được ngay.
Bài luyện tập
- Với hình thoi ABCD ở trên, tính |OA + OB| (O là tâm).
Đáp án: OA = (−4; 0), OB = (0; 3) nên OA + OB = (−4; 3), độ dài bằng 5. - Hình thoi MNPQ có MP = 24 và NQ = 10. Tính |MN + MQ| và |MN − MQ|.
Đáp án: |MN + MQ| = |MP| = 24; |MN − MQ| = |QN| = 10. - Với hình thoi ABCD ở trên, tính |AB + AC + AD|.
Đáp án: AB + AD = AC nên tổng bằng 2·AC, độ dài 16.
Câu hỏi thường gặp
Cho hình thoi ABCD có AC = 8, BD = 6 thì cạnh bằng bao nhiêu?
Cạnh bằng 5. Hai đường chéo vuông góc tại trung điểm O nên AB = √(4² + 3²) = 5.
|AB + AC| bằng bao nhiêu khi AC = 8, BD = 6?
|AB + AC| = √153 = 3√17 ≈ 12,37. Có thể tính bằng tọa độ AB = (4; 3), AC = (8; 0) rồi cộng lại thành (12; 3).
|AB − AC| bằng bao nhiêu?
Theo quy tắc hiệu, AB − AC = CB nên |AB − AC| = CB = 5.
Vì sao |AB + AC| không bằng |AC| trong hình thoi?
Vì AB + AD mới bằng AC theo quy tắc hình bình hành. AB và AC không phải hai cạnh kề nên không áp dụng được quy tắc đó.