Trả lời nhanh
Với ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC (a, b, c là ba cạnh), ta có ma2 + mb2 + mc2 = (3/4)(a2 + b2 + c2). Chứng minh dựa trên công thức từng trung tuyến 4ma2 = 2b2 + 2c2 − a2 (và hai công thức tương tự), rồi cộng lại: vế trái nhân 4 bằng 3(a2 + b2 + c2).
Đề bài cần chứng minh điều gì?
Câu “cho tam giác ABC, chứng minh ma2 + mb2 + mc2 = 3/4(a2 + b2 + c2)” dùng kí hiệu quen của hình học phẳng: a = BC, b = CA, c = AB, còn ma, mb, mc là các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C. Đây không phải tổng MA2 + MB2 + MC2 với M là một điểm tùy ý. Với trọng tâm G, tổng ấy chỉ bằng (1/3)(a2 + b2 + c2), hệ số khác 3/4.
Hệ số 3/4 xuất hiện đúng một lần: khi cộng bình phương độ dài cả ba trung tuyến. Bài đi theo ba bước: chứng minh công thức một trung tuyến, viết hai công thức kia, cộng và rút gọn.
Công thức một đường trung tuyến
Đặt hệ trục sao cho A trùng gốc tọa độ, B là (c; 0), C là (p; q). Khi đó c = AB đúng bằng hoành độ của B, còn b2 = p2 + q2 và
a2 = (p − c)2 + q2 = p2 − 2pc + c2 + q2 = b2 + c2 − 2pc.
Suy ra 2pc = b2 + c2 − a2.
Trung điểm M của BC là ((c + p)/2; q/2). Trung tuyến từ A có độ dài ma = AM, nên
ma2 = ((c + p)/2)2 + (q/2)2 = (c2 + 2cp + p2 + q2)/4 = (c2 + 2cp + b2)/4.
Thay 2cp = b2 + c2 − a2:
ma2 = (c2 + b2 + c2 − a2 + b2)/4 = (2b2 + 2c2 − a2)/4.
Nhân hai vế với 4 được dạng dễ nhớ:
4ma2 = 2b2 + 2c2 − a2.
Đổi vai trò các đỉnh:
- 4mb2 = 2c2 + 2a2 − b2
- 4mc2 = 2a2 + 2b2 − c2
Cộng ba trung tuyến để ra hệ số 3/4
Cộng ba đẳng thức:
4(ma2 + mb2 + mc2) = (2b2 + 2c2 − a2) + (2c2 + 2a2 − b2) + (2a2 + 2b2 − c2).
Nhóm hệ số của từng cạnh:
- a2: −1 + 2 + 2 = 3
- b2: 2 − 1 + 2 = 3
- c2: 2 + 2 − 1 = 3
Vế phải bằng 3a2 + 3b2 + 3c2 = 3(a2 + b2 + c2). Chia hai vế cho 4:
ma2 + mb2 + mc2 = (3/4)(a2 + b2 + c2).
Đó là điều cần chứng minh. Đẳng thức đúng với mọi tam giác, không cần vuông hay đều.
Thử lại trên tam giác 6, 8, 10
Lấy a = 10, b = 8, c = 6 (tam giác vuông vì 62 + 82 = 102).
- 4ma2 = 2·64 + 2·36 − 100 = 128 + 72 − 100 = 100, nên ma2 = 25
- 4mb2 = 2·36 + 2·100 − 64 = 72 + 200 − 64 = 208, nên mb2 = 52
- 4mc2 = 2·100 + 2·64 − 36 = 200 + 128 − 36 = 292, nên mc2 = 73
Tổng bình phương ba trung tuyến: 25 + 52 + 73 = 150.
Vế phải: (3/4)(100 + 64 + 36) = (3/4)·200 = 150. Hai vế khớp.
Với tam giác đều cạnh 2, mỗi trung tuyến bằng √3, tổng bình phương bằng 3·3 = 9, còn (3/4)(4 + 4 + 4) = 9. Khớp thêm một trường hợp nữa.
Hệ quả với trọng tâm và các lỗi hay gặp
Trọng tâm G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1, đoạn từ đỉnh đến G bằng 2/3 trung tuyến. Do đó
GA2 + GB2 + GC2 = (4/9)(ma2 + mb2 + mc2) = (4/9)·(3/4)(a2 + b2 + c2) = (1/3)(a2 + b2 + c2).
Em đừng lấy hệ số 1/3 này thay cho 3/4 của đề. Đề hỏi tổng bình phương các trung tuyến, không phải tổng bình phương khoảng cách từ trọng tâm tới ba đỉnh.
Các lỗi khác:
- Quên mẫu số 4, viết ma2 = 2b2 + 2c2 − a2. Cộng ba cái sẽ ra 3(a2 + b2 + c2), gấp 4 lần kết quả đúng.
- Nhầm ma là trung tuyến ứng với cạnh a nhưng lại thay nhầm cạnh: cạnh bị trừ trong công thức phải là cạnh mà trung tuyến đó rơi xuống, tức là a đối với ma.
- Chọn đáp án trắc nghiệm S = a2 + b2 + c2 hoặc S = (3/2)(a2 + b2 + c2). Tam giác 6-8-10 cho S = 150 trong khi a2 + b2 + c2 = 200, chỉ có nhân 3/4 mới ra 150.
Bài luyện. Tam giác có ba cạnh 5, 5, 6. Tính ma2 + mb2 + mc2 mà không cần kẻ từng trung tuyến.
Đáp án: (3/4)(25 + 25 + 36) = (3/4)·86 = 64,5. Nếu gọi a = 6 là cạnh đáy thì riêng ma2 = (2·25 + 2·25 − 36)/4 = 64/4 = 16, trung tuyến này dài 4, đúng với đường cao của tam giác cân.
Câu hỏi thường gặp
ma2 + mb2 + mc2 bằng bao nhiêu theo ba cạnh?
Bằng 3/4 lần (a2 + b2 + c2), trong đó ma, mb, mc là ba đường trung tuyến.
Công thức một đường trung tuyến là gì?
4ma^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2. Hai trung tuyến kia được viết bằng cách hoán vị các cạnh.
Tổng GA2 + GB2 + GC2 có cùng hệ số 3/4 không?
Không. Vì trọng tâm cách đỉnh 2/3 trung tuyến, tổng ấy bằng 1/3 (a2 + b2 + c2).
Tam giác 6, 8, 10 có tổng bình phương ba trung tuyến bằng bao nhiêu?
Bằng 150, vì (3/4)(36 + 64 + 100) = 150.