Trả lời nhanh
Miền nghiệm của bất phương trình x − 2y < 0 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x − 2y = 0 (đi qua O(0; 0) và (2; 1)), chứa điểm M(0; 1) và không kể bờ. Miền nghiệm của hệ x − 2y < 0, x + 3y > −2, y − x < 3 là phần giao của ba nửa mặt phẳng, chứa M(0; 1), không kể các đường biên; miền này không bị chặn và có hai đỉnh A(−11/4; 1/4), B(−4/5; −2/5).
Đề bài: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình x − 2y < 0, x + 3y > −2, y − x < 3
Bài toán yêu cầu biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy miền nghiệm của từng bất phương trình bậc nhất hai ẩn, sau đó xác định miền nghiệm của hệ gồm cả ba bất phương trình:
- (1) x − 2y < 0
- (2) x + 3y > −2
- (3) y − x < 3
Đây là dạng bài cơ bản của chương Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Toán 10). Dạng trắc nghiệm của bài này thường cho bốn hình vẽ và hỏi phần không tô đậm của hình nào là miền nghiệm.
Nhắc lại cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Với bất phương trình dạng ax + by < c (hoặc >, ≤, ≥), em làm theo bốn bước:
- Vẽ đường thẳng bờ d: ax + by = c. Nếu dấu là < hoặc > thì vẽ nét đứt (bờ không thuộc miền nghiệm); nếu là ≤ hoặc ≥ thì vẽ nét liền.
- Chọn một điểm thử M(x0; y0) không nằm trên d. Thường chọn O(0; 0) cho dễ tính; nếu d đi qua O thì chọn điểm khác như (0; 1) hoặc (1; 0).
- Thay tọa độ điểm thử vào bất phương trình.
- Kết luận: nếu thỏa mãn thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d chứa M; nếu không thỏa mãn thì là nửa mặt phẳng bờ d không chứa M.
Theo cách trình bày của sách giáo khoa, em có thể tô màu (hoặc gạch bỏ) phần không phải miền nghiệm để phần còn lại hiện rõ; đề bài sẽ nói rõ quy ước nào được dùng.
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x − 2y < 0
Bước 1. Vẽ đường thẳng d1: x − 2y = 0, tức y = x/2. Đường này đi qua O(0; 0) và điểm (2; 1). Vì dấu là “<” nên vẽ nét đứt.
Bước 2. Gốc O nằm trên d1 nên không dùng O làm điểm thử. Chọn M(0; 1).
Bước 3. Thay vào: 0 − 2·1 = −2 < 0, thỏa mãn.
Kết luận. Miền nghiệm của x − 2y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa M(0; 1), không kể bờ. Viết lại x − 2y < 0 ⇔ y > x/2, em thấy ngay đây là phần nằm phía trên đường thẳng y = x/2.
Các biến thể của đề với vế trái x − 2y
| Bất phương trình | Bờ | Miền nghiệm |
|---|---|---|
| x − 2y < 0 | Nét đứt | Nửa mặt phẳng phía trên y = x/2, chứa (0; 1), bỏ bờ |
| x − 2y ≤ 0 | Nét liền | Như trên nhưng lấy cả bờ |
| x − 2y > 0 | Nét đứt | Nửa mặt phẳng phía dưới y = x/2, chứa (1; 0), bỏ bờ |
| x − 2y ≥ 0 | Nét liền | Như trên nhưng lấy cả bờ |
Biểu diễn miền nghiệm của x + 3y > −2 và y − x < 3
Bất phương trình (2): x + 3y > −2. Vẽ d2: x + 3y = −2 đi qua (−2; 0) và (1; −1), nét đứt. Thử O(0; 0): 0 + 0 = 0 > −2, đúng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa O, không kể bờ (phía trên d2).
Bất phương trình (3): y − x < 3. Vẽ d3: y − x = 3, tức y = x + 3, đi qua (0; 3) và (−3; 0), nét đứt. Thử O(0; 0): 0 − 0 = 0 < 3, đúng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d3 chứa O, không kể bờ (phía dưới d3).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình x − 2y < 0, x + 3y > −2, y − x < 3
Vẽ cả ba đường thẳng d1, d2, d3 trên cùng một hệ trục. Miền nghiệm của hệ là phần chung của ba nửa mặt phẳng vừa tìm, tức là các điểm nằm trên d1, trên d2 và dưới d3.
Tìm các đỉnh của miền nghiệm
- A = d2 ∩ d3: thay y = x + 3 vào x + 3y = −2 được 4x + 9 = −2, x = −11/4, y = 1/4. Vậy A(−11/4; 1/4).
- B = d1 ∩ d2: thay x = 2y vào x + 3y = −2 được 5y = −2, y = −2/5, x = −4/5. Vậy B(−4/5; −2/5).
- d1 ∩ d3 tại (−6; −3), nhưng điểm này nằm dưới d2 (vì −6 + 3·(−3) = −15 < −2) nên không phải đỉnh của miền nghiệm.
Vậy miền nghiệm của hệ được giới hạn bởi đoạn AB (nằm trên d2), tia xuất phát từ A dọc theo d3 và tia xuất phát từ B dọc theo d1; hai tia này cùng đi lên về phía bên phải và không bao giờ cắt nhau, nên miền không bị chặn. Toàn bộ các cạnh biên không thuộc miền nghiệm vì cả ba dấu đều là dấu bất đẳng thức ngặt.
Kiểm tra một điểm có thuộc miền nghiệm hay không
| Điểm | x − 2y < 0 | x + 3y > −2 | y − x < 3 | Kết luận |
|---|---|---|---|---|
| M(0; 1) | −2 < 0 ✓ | 3 > −2 ✓ | 1 < 3 ✓ | Thuộc miền nghiệm |
| (5; 4) | −3 < 0 ✓ | 17 > −2 ✓ | −1 < 3 ✓ | Thuộc miền nghiệm |
| O(0; 0) | 0 < 0 ✗ | 0 > −2 ✓ | 0 < 3 ✓ | Không thuộc (nằm trên bờ d1) |
| (−3; 0) | −3 < 0 ✓ | −3 > −2 ✗ | 3 < 3 ✗ | Không thuộc |
Trong bài trắc nghiệm có hình vẽ, em chỉ cần lấy một điểm dễ tính như M(0; 1), kiểm tra nó thỏa mãn cả ba bất phương trình, rồi chọn hình mà miền nghiệm chứa M và các đường biên vẽ nét đứt.
Lỗi thường gặp
- Thử bằng điểm O khi bờ đi qua O. Với x − 2y = 0, thay O cho 0 < 0 là sai, nhưng điều đó không cho biết nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm. Phải chọn điểm ngoài đường thẳng.
- Vẽ nét liền cho dấu <, >. Khi đó em vô tình đưa các điểm trên bờ vào miền nghiệm.
- Chuyển vế sai chiều. Từ x − 2y < 0 suy ra −2y < −x, chia cho −2 phải đổi chiều: y > x/2.
- Lấy nhầm phần hợp thay vì phần giao. Miền nghiệm của hệ là phần chung, một điểm phải thỏa mãn tất cả các bất phương trình.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
Bài 1. Trong các điểm (1; 1), (2; 0), (−1; −1), (3; 1), điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ x − 2y < 0, x + 3y > −2, y − x < 3?
Đáp án: Chỉ có (1; 1). Điểm (2; 0) và (3; 1) không thỏa x − 2y < 0; điểm (−1; −1) không thỏa cả (1) lẫn (2).
Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ x − 2y ≥ 0, x + y ≤ 3, y ≥ 0.
Đáp án: Miền nghiệm là tam giác (kể cả các cạnh) với ba đỉnh O(0; 0), C(3; 0), D(2; 1). Diện tích tam giác bằng 1/2 · 3 · 1 = 1,5 (đơn vị diện tích).
Bài 3. Với miền nghiệm ở Bài 2, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F = 2x − y.
Đáp án: Tại O: F = 0; tại C(3; 0): F = 6; tại D(2; 1): F = 3. Vậy F lớn nhất bằng 6 tại (3; 0) và nhỏ nhất bằng 0 tại (0; 0).
Câu hỏi thường gặp
Miền nghiệm của bất phương trình x − 2y < 0 là gì?
Là nửa mặt phẳng bờ x − 2y = 0 nằm phía trên đường thẳng y = x/2, chứa điểm (0; 1) và không kể bờ.
Vì sao không thử bằng điểm O(0; 0) với x − 2y < 0?
Vì đường thẳng x − 2y = 0 đi qua O nên O nằm trên bờ, thay vào không xác định được nửa mặt phẳng. Phải chọn điểm khác như (0; 1).
Miền nghiệm của hệ x − 2y < 0, x + 3y > −2, y − x < 3 có bị chặn không?
Không. Miền có hai đỉnh A(−11/4; 1/4), B(−4/5; −2/5) và mở rộng vô hạn về phía trên bên phải giữa hai đường y = x/2 và y = x + 3.
Khi nào đường biên được vẽ nét liền?
Khi bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥ thì các điểm trên bờ cũng là nghiệm nên vẽ nét liền; với dấu thì vẽ nét đứt.
Làm bài trắc nghiệm chọn hình miền nghiệm thế nào cho nhanh?
Chọn một điểm dễ tính thỏa mãn mọi bất phương trình của hệ, ví dụ (0; 1), rồi chọn hình có miền nghiệm chứa điểm đó và nét biên đúng loại.