Trả lời nhanh
Kiểm tra n = 1: a – b = (a – b)·1, đúng. Giả sử đúng với n = k, viết ak+1 – bk+1 = a(ak – bk) + bk(a – b), thay giả thiết quy nạp vào rồi nhóm thừa số (a – b). Ta được đúng công thức với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp, đẳng thức đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Đề bài và hướng đi
Bài 7 trang 29 Chuyên đề Toán 10 (Cánh diều). Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*:
an – bn = (a – b)(an–1 + an–2b + … + abn–2 + bn–1).
Vế phải có n số hạng. Số mũ của a giảm dần từ n – 1 về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 lên n – 1, và mỗi số hạng có tổng số mũ luôn bằng n – 1. Ta kí hiệu tổng trong ngoặc là Sn = an–1 + an–2b + … + bn–1, nên cần chứng minh an – bn = (a – b)Sn.
Đề có biến n ∈ ℕ* nên phương pháp tự nhiên là quy nạp. Nếu cần ôn lại các bước, xem bài phương pháp quy nạp toán học: Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học.
Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp toán học
Bước 1 – Cơ sở quy nạp. Với n = 1, vế trái là a – b. Vế phải có một số hạng duy nhất là b0 = 1 (cũng bằng a0), nên vế phải là (a – b)·1 = a – b. Hai vế bằng nhau, mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2 – Bước quy nạp. Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ∈ ℕ*), tức là
ak – bk = (a – b)Sk, với Sk = ak–1 + ak–2b + … + bk–1.
Cần chứng minh ak+1 – bk+1 = (a – b)Sk+1, với Sk+1 = ak + ak–1b + … + abk–1 + bk.
Mẹo then chốt là “thêm bớt” abk:
ak+1 – bk+1 = ak+1 – abk + abk – bk+1 = a(ak – bk) + bk(a – b).
Áp dụng giả thiết quy nạp cho ak – bk:
ak+1 – bk+1 = a(a – b)Sk + bk(a – b) = (a – b)(aSk + bk).
Nhân a vào Sk: aSk = ak + ak–1b + … + a2bk–2 + abk–1. Cộng thêm bk ta được đúng ak + ak–1b + … + abk–1 + bk = Sk+1. Vậy ak+1 – bk+1 = (a – b)Sk+1.
Kết luận. Mệnh đề đúng với n = 1 và từ đúng với k suy ra đúng với k + 1, nên theo nguyên lí quy nạp, nó đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Cách 2: Nhân ra rồi triệt tiêu (không cần quy nạp)
Nhân (a – b) với từng số hạng của Sn:
- a·Sn = an + an–1b + an–2b2 + … + abn–1;
- b·Sn = an–1b + an–2b2 + … + abn–1 + bn.
Trừ hai dòng, mọi số hạng ở giữa đều xuất hiện ở cả hai và triệt tiêu, chỉ còn an – bn. Cách này nhanh và giúp “nhìn thấy” vì sao công thức đúng, nhưng đề bài nằm trong bài quy nạp nên khi làm bài kiểm tra, hãy trình bày theo cách 1 nếu đề yêu cầu quy nạp.
Các trường hợp quen thuộc
| n | Kết quả |
|---|---|
| 2 | a2 – b2 = (a – b)(a + b) |
| 3 | a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) |
| 4 | a4 – b4 = (a – b)(a3 + a2b + ab2 + b3) |
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hiệu hai lập phương chỉ là trường hợp riêng của công thức tổng quát này.
Ứng dụng
- Chia hết: an – bn luôn chia hết cho a – b (với a, b nguyên). Ví dụ 7n – 2n chia hết cho 5.
- Tổng cấp số nhân: thay b = 1 được an – 1 = (a – 1)(an–1 + … + a + 1). Đây là nội dung của Bài 4 trang 29: Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10.
- Thay b bằng –b: với n lẻ, an + bn = (a + b)(an–1 – an–2b + … + bn–1), nên an + bn chia hết cho a + b.
Lỗi sai thường gặp
- Đếm sai số số hạng: tổng Sn có đúng n số hạng, không phải n – 1 hay n + 1.
- Viết sai số mũ khi dịch chỉ số k → k + 1, ví dụ nhầm (k + 1) – 1 thành k + 1. Hãy tự viết Sk+1 ra nháp trước khi biến đổi.
- Quên bước dùng giả thiết quy nạp, chỉ biến đổi đại số thuần tuý nên không được tính là quy nạp.
- Chia cho a – b khi a = b. Khi a = b, vế trái bằng 0 và công thức vẫn đúng vì (a – b) = 0, nhưng không được chia hai vế cho a – b.
Bài luyện tập
Bài 1. Phân tích a5 – b5 thành nhân tử.
Đáp án: (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4).
Bài 2. Chứng minh 17n – 3n chia hết cho 14 với mọi n ∈ ℕ*.
Gợi ý: áp dụng công thức với a = 17, b = 3, có a – b = 14, nên 17n – 3n = 14·(số nguyên).
Bài 3. Chứng minh 10n – 1 chia hết cho 9 và tìm thương.
Đáp án: với a = 10, b = 1, có 10n – 1 = 9(10n–1 + … + 10 + 1) = 9·11…1 (n chữ số 1), nên chia hết cho 9.
Muốn xem thêm một bài chia hết bằng quy nạp, mời xem Luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề Toán 10. Các bài khác có trong Giải Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều.
Câu hỏi thường gặp
Công thức a^n – b^n có bao nhiêu số hạng trong ngoặc thứ hai?
Có đúng n số hạng: a^(n–1), a^(n–2)b, …, ab^(n–2), b^(n–1). Mỗi số hạng có tổng số mũ của a và b bằng n – 1.
Thêm bớt số hạng nào để chứng minh bước quy nạp?
Thêm và bớt ab^k vào a^(k+1) – b^(k+1) để được a(a^k – b^k) + b^k(a – b), từ đó dùng được giả thiết quy nạp.
Công thức này có đúng khi a = b không?
Có. Khi đó vế trái bằng 0 và vế phải có thừa số (a – b) = 0 nên hai vế bằng nhau. Tuy nhiên không được chia hai vế cho a – b.
Công thức này dùng để làm dạng bài nào?
Chủ yếu để chứng minh chia hết (a^n – b^n chia hết cho a – b), phân tích đa thức thành nhân tử và tính tổng cấp số nhân khi cho b = 1.