Phương pháp Gauss lớp 10: giải hệ phương trình ba ẩn

Trả lời nhanh

Phương pháp Gauss là cách khử ẩn từng bước: dùng phép cộng, trừ, nhân các phương trình để đưa hệ ba ẩn về dạng tam giác (phương trình cuối chỉ còn một ẩn, phương trình giữa còn hai ẩn). Sau đó giải z, thế ngược tìm y rồi x. Nếu xuất hiện 0 = số khác 0 thì hệ vô nghiệm; nếu xuất hiện 0 = 0 thì hệ có vô số nghiệm.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là gì?

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, z có dạng: mỗi phương trình là ax + by + cz = d với a, b, c không đồng thời bằng 0. Nghiệm của hệ là bộ ba số (x₀; y₀; z₀) thoả mãn đồng thời cả ba phương trình.

Với hai ẩn, ta hay dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Sang ba ẩn, hai cách đó dễ rối. Phương pháp Gauss giúp ta làm có trật tự, ra đâu chắc đó.

Ý tưởng của phương pháp Gauss

Ta biến đổi hệ về một hệ tương đương nhưng đơn giản hơn, có dạng “bậc thang” (tam giác):

Phương trình (1): còn đủ x, y, z.
Phương trình (2): đã khử x, chỉ còn y, z.
Phương trình (3): đã khử x và y, chỉ còn z.

Các phép biến đổi được phép dùng (không làm đổi tập nghiệm):

Đổi chỗ hai phương trình.
Nhân hai vế của một phương trình với số khác 0.
Cộng vào một phương trình một phương trình khác đã nhân với một số bất kì.

Các bước giải

Bước 1: Chọn phương trình (1) có hệ số của x đơn giản (tốt nhất bằng 1; nếu không, đổi chỗ các phương trình).
Bước 2: Dùng (1) khử x trong (2) và (3). Được hai phương trình chỉ chứa y, z.
Bước 3: Dùng phương trình mới có hệ số y đẹp để khử y ở phương trình còn lại. Được phương trình chỉ chứa z.
Bước 4: Giải z, rồi thế ngược lên để tìm y, sau đó x.
Bước 5: Thử lại nghiệm vào cả ba phương trình ban đầu.

Ví dụ 1: hệ có nghiệm duy nhất

Giải hệ: x + y + z = 6 (1); 2x − y + z = 3 (2); x + 2y − z = 2 (3).

Khử x: lấy (2) − 2·(1) được −3y − z = −9, tức 3y + z = 9. Lấy (3) − (1) được y − 2z = −4. Hệ trở thành:

x + y + z = 6
y − 2z = −4
3y + z = 9

Khử y ở phương trình cuối: lấy (3′) − 3·(2′) được 3y + z − 3y + 6z = 9 + 12, tức 7z = 21, suy ra z = 3.

Thế ngược: y = 2z − 4 = 2; x = 6 − y − z = 1.

Thử lại: 1 + 2 + 3 = 6; 2 − 2 + 3 = 3; 1 + 4 − 3 = 2. Đúng. Nghiệm: (x; y; z) = (1; 2; 3).

Ví dụ 2: hệ vô nghiệm

Giải hệ: x + y + z = 1 (1); x − y + z = 3 (2); 2x + 2z = 5 (3).

Cộng (1) và (2): 2x + 2z = 4. Lấy (3) trừ kết quả này: 0 = 1, vô lí. Vậy hệ vô nghiệm.

Dấu hiệu nhận biết: trong quá trình khử xuất hiện dòng có dạng 0x + 0y + 0z = c với c ≠ 0.

Ví dụ 3: hệ có vô số nghiệm

Giải hệ: x + y + z = 3 (1); x − y + z = 1 (2); 2x + 2z = 4 (3).

Lấy (1) − (2): 2y = 2, suy ra y = 1. Thế vào (1): x + z = 2. Phương trình (3) chính là x + z = 2 nhân 2, nên sau khi khử ta được 0 = 0 (phương trình thừa).

Chọn z = t tuỳ ý thì x = 2 − t. Tập nghiệm: (2 − t; 1; t) với t là số thực bất kì. Chẳng hạn t = 0 cho (2; 1; 0), t = 1 cho (1; 1; 1).

Ba trường hợp tóm tắt

Dạng cuối khi khử	Kết luận
Ra z = số, y và x tìm được duy nhất	Nghiệm duy nhất
Xuất hiện 0 = c (c ≠ 0)	Vô nghiệm
Xuất hiện 0 = 0, còn ít phương trình hơn số ẩn	Vô số nghiệm, biểu diễn theo tham số

Mẹo và lỗi sai thường gặp

Mẹo: nên đưa phương trình có hệ số x bằng 1 hoặc −1 lên đầu để tránh phân số.
Sai dấu khi trừ: khi lấy (2) − 2·(1), phải nhân 2 cho cả vế phải. Quên vế phải là lỗi rất hay gặp.
Khử x nhưng lại “làm hiện” x trở lại: khi khử y ở bước 3, chỉ dùng hai phương trình đã không còn x.
Quên thử lại: một phép tính sai đầu bài sẽ kéo theo cả bộ nghiệm sai; thử lại mất chưa đến một phút.
Gặp 0 = 0 mà kết luận ngay “vô nghiệm”: sai; đó là dấu hiệu của vô số nghiệm (nếu không có mâu thuẫn khác).

Bài luyện tập

Bài 1. Giải hệ: x + y + z = 4; 2x − y + z = 8; x + 3y − z = −4.

Bài 2. Ở một cửa hàng, giá một bút, một vở, một thước lần lượt là x, y, z (nghìn đồng). Biết: x + y + z = 12; 2x + y + 3z = 23; x + 2y + 2z = 21. Tìm x, y, z.

Bài 3. Hệ x + y + z = 2; 2x + 2y + 2z = 5; x − y = 0 có nghiệm không?

Đáp án

Bài 1: (2) − 2·(1): −3y − z = 0, tức 3y + z = 0; (3) − (1): 2y − 2z = −8, tức y − z = −4. Suy ra z = y + 4, thay vào: 4y + 4 = 0, y = −1, z = 3, x = 4 − (−1) − 3 = 2. Nghiệm (2; −1; 3).
Bài 2: (2) − 2·(1): −y + z = −1, tức y − z = 1; (3) − (1): y + z = 9. Cộng lại: 2y = 10, y = 5, z = 4, x = 12 − 5 − 4 = 3. Bút 3 nghìn, vở 5 nghìn, thước 4 nghìn đồng.
Bài 3: (2) − 2·(1): 0 = 1, vô lí. Hệ vô nghiệm.

Có thể dùng máy tính cầm tay không?

Nhiều dòng máy tính có chế độ giải hệ ba ẩn (EQN), tiện để kiểm tra đáp số. Tuy nhiên bài tự luận vẫn yêu cầu trình bày các bước khử, nên hãy luyện tay trước rồi dùng máy để thử lại.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp Gauss khác phương pháp thế và cộng đại số thế nào?

Về bản chất đều là khử ẩn. Gauss thêm quy trình có trật tự: khử x ở hai phương trình dưới, rồi khử y ở phương trình cuối, đưa hệ về dạng tam giác để thế ngược, nên ít sai sót hơn với hệ ba ẩn.

Làm sao biết hệ ba ẩn vô nghiệm hay vô số nghiệm?

Khi khử xuất hiện 0 = c với c khác 0 thì hệ vô nghiệm. Khi chỉ xuất hiện 0 = 0 và số phương trình còn lại ít hơn số ẩn thì hệ có vô số nghiệm, viết theo tham số.

Có bắt buộc phải thử lại nghiệm không?

Về mặt lí thuyết, nếu biến đổi tương đương đúng thì không cần. Nhưng thử lại vào ba phương trình ban đầu là cách nhanh để phát hiện lỗi cộng trừ nên nên làm.

Phương pháp Gauss có dùng cho hệ nhiều hơn ba ẩn không?

Có. Cùng cách khử dần từng ẩn, phương pháp này dùng được cho hệ bốn ẩn trở lên và là nền tảng của phương pháp giải hệ bằng ma trận ở bậc cao hơn.