Phương trình parabol y² = 7x: tiêu điểm, đường chuẩn

Trả lời nhanh

Parabol (P₁): y² = 7x có dạng y² = 2px với 2p = 7, suy ra p = 7/2. Tiêu điểm là F(p/2; 0) = F(7/4; 0) và đường chuẩn là Δ: x = −p/2, tức x = −7/4 (hay 4x + 7 = 0). Cần nhớ: tiêu điểm nằm bên phải gốc O vì p > 0.

Công thức cần nhớ về phương trình parabol

Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm F cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng Δ cố định (đường chuẩn, F không nằm trên Δ). Khoảng cách từ F đến Δ gọi là tham số tiêu, kí hiệu p (p > 0).

Khi chọn hệ trục sao cho đỉnh là gốc O và trục đối xứng là Ox, parabol có phương trình chính tắc:

y² = 2px (p > 0)
Tiêu điểm F(p/2; 0)
Đường chuẩn Δ: x = −p/2

Mẹo nhớ: tiêu điểm và đường chuẩn đối xứng với nhau qua đỉnh O, mỗi bên cách O đúng p/2. Vì vậy chỉ cần tìm được p/2 là có cả hai kết quả.

Giải parabol (P₁): y² = 7x

Đưa về dạng chính tắc. So sánh y² = 7x với y² = 2px ta được 2p = 7.
Tính p. p = 7/2, từ đó p/2 = 7/4.
Tiêu điểm. F(p/2; 0) = F(7/4; 0).
Đường chuẩn. Δ: x = −7/4, hay viết dạng tổng quát 4x + 7 = 0.

Kết luận: (P₁) có tiêu điểm F(7/4; 0) và đường chuẩn Δ: x = −7/4.

Parabol y² = 7x với tiêu điểm F(7/4; 0), đường chuẩn x = -7/4 và điểm M thuộc parabol — Parabol y² = 7x: mọi điểm M trên parabol cách đều tiêu điểm F và đường chuẩn x = -7/4.

Kiểm tra kết quả bằng định nghĩa

Lấy điểm M(4; √28) thuộc (P₁) vì y² = 28 = 7·4. Khoảng cách từ M đến đường chuẩn x = −7/4 là 4 + 7/4 = 23/4.

Khoảng cách MF: MF² = (4 − 7/4)² + 28 = (9/4)² + 28 = 81/16 + 448/16 = 529/16, nên MF = 23/4. Hai khoảng cách bằng nhau, chứng tỏ F và Δ tìm được là đúng.

Còn có công thức nhanh: với M(x₀; y₀) thuộc parabol y² = 2px thì MF = x₀ + p/2. Ở trên: 4 + 7/4 = 23/4, khớp kết quả.

Lỗi sai thường gặp

Nhầm 7 là p. Hệ số 7 là 2p, không phải p. Nếu lấy p = 7 sẽ ra F(7/2; 0), sai.
Nhầm p/2 với p. Tiêu điểm có hoành độ p/2, không phải p.
Sai dấu đường chuẩn. Với y² = 2px (p > 0), đường chuẩn nằm bên trái O nên có dấu âm: x = −p/2.
Viết đường chuẩn như một điểm. Đường chuẩn là đường thẳng (x = −7/4), không viết dạng tọa độ.

Mở rộng với các dạng parabol khác

Nếu đề cho thêm các parabol có hướng khác, ta vẫn dùng cùng ý tưởng “tìm p rồi lấy p/2”. Bảng dưới là ví dụ tự đặt để bạn so sánh:

Phương trình	Tiêu điểm	Đường chuẩn
y² = 2px (p > 0)	(p/2; 0)	x = −p/2
y² = −2px (p > 0)	(−p/2; 0)	x = p/2
x² = 2py (p > 0)	(0; p/2)	y = −p/2
x² = −2py (p > 0)	(0; −p/2)	y = p/2

Dấu hiệu nhận biết: biến nào được bình phương thì trục đối xứng là trục kia; hệ số bên phải dương thì parabol mở về phía dương của trục đó.

Bài luyện tập (tự đặt)

Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol y² = 10x.
Parabol y² = 2px đi qua điểm A(2; 4). Tìm p, tiêu điểm và đường chuẩn.
Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol y² = −6x.

Đáp án

2p = 10 nên p = 5. F(5/2; 0), Δ: x = −5/2.
Thay A: 16 = 2p·2 nên p = 4 (phương trình y² = 8x). F(2; 0), Δ: x = −2.
Dạng y² = −2px với 2p = 6, p = 3. F(−3/2; 0), Δ: x = 3/2.

Câu hỏi thường gặp

Parabol y² = 7x có tiêu điểm là gì?

Tiêu điểm là F(7/4; 0), vì 2p = 7 nên p = 7/2 và tiêu điểm có tọa độ (p/2; 0).

Đường chuẩn của parabol y² = 7x có phương trình nào?

Đường chuẩn là x = −7/4, tương đương 4x + 7 = 0.

Hệ số 7 trong y² = 7x là p hay 2p?

Đó là 2p. Muốn có p phải chia 7 cho 2 được p = 7/2, sau đó mới lấy p/2 = 7/4 cho tiêu điểm.

Làm sao kiểm tra nhanh tiêu điểm và đường chuẩn đã đúng chưa?

Lấy một điểm M thuộc parabol rồi so sánh MF với khoảng cách từ M đến đường chuẩn. Hai giá trị phải bằng nhau theo định nghĩa parabol.