Trả lời nhanh
Hệ thức lượng trong tam giác ABC gồm: định lí côsin a² = b² + c² – 2bc·cosA; định lí sin a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R; và các công thức diện tích S = ½bc·sinA, S = abc/(4R), S = pr, S = √[p(p–a)(p–b)(p–c)]. Từ đó ta giải tam giác, tức tính cạnh và góc chưa biết.
1. Quy ước kí hiệu trong tam giác ABC
Trước khi dùng công thức, em cần thống nhất kí hiệu, vì sai kí hiệu là nguyên nhân mất điểm phổ biến nhất ở bài này.
- A, B, C: số đo các góc tại đỉnh tương ứng.
- a = BC, b = CA, c = AB: cạnh nằm đối diện với đỉnh A, B, C.
- p = (a + b + c)/2: nửa chu vi; S: diện tích.
- R, r: bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
Mẹo nhớ: chữ thường và chữ hoa cùng tên luôn “nhìn nhau” – cạnh a nằm đối diện góc A, nên a và A luôn đi cùng nhau trong mọi công thức.
2. Định lí côsin
Trong tam giác ABC:
- a² = b² + c² – 2bc·cosA
- b² = c² + a² – 2ca·cosB
- c² = a² + b² – 2ab·cosC
Bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại, trừ đi hai lần tích của chúng với côsin góc xen giữa. Khi A = 90° thì cosA = 0 và công thức trở về định lí Pythagore, nên em có thể xem định lí côsin là “Pythagore mở rộng”.
Hệ quả: tính góc khi biết ba cạnh
- cosA = (b² + c² – a²)/(2bc)
- cosB = (c² + a² – b²)/(2ca)
- cosC = (a² + b² – c²)/(2ab)
Dấu của cosA cho biết loại góc: cosA > 0 thì A nhọn, cosA = 0 thì A vuông, cosA < 0 thì A tù. Vì vậy, để biết tam giác nhọn, vuông hay tù, chỉ cần xét góc đối diện cạnh lớn nhất.
Ví dụ 1 (hai cạnh và góc xen giữa)
Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, A = 120°. Tính a.
Ta có a² = 7² + 5² – 2·7·5·cos120° = 49 + 25 – 70·(–½) = 74 + 35 = 109. Vậy a = √109 ≈ 10,44. Chú ý cos120° âm nên hai dấu trừ liên tiếp cho ra dấu cộng; đây là chỗ nhiều bạn tính nhầm thành 74 – 35.
Ví dụ 2 (biết ba cạnh)
Cho tam giác có a = 7, b = 8, c = 9. Tính các góc.
- cosA = (64 + 81 – 49)/(2·8·9) = 96/144 = 2/3, suy ra A ≈ 48,19°.
- cosB = (49 + 81 – 64)/(2·7·9) = 66/126 = 11/21, suy ra B ≈ 58,41°.
- C = 180° – 48,19° – 58,41° = 73,40°. Kiểm tra: cosC = (49 + 64 – 81)/(2·7·8) = 32/112 = 2/7 ≈ 0,2857, ứng với C ≈ 73,40°. Khớp.
3. Định lí sin
Trong tam giác ABC: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.
Tỉ số giữa mỗi cạnh và sin góc đối diện là một hằng số, bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp. Hệ quả hay dùng: a = 2R·sinA, sinA = a/(2R), và cạnh lớn hơn thì đối diện góc lớn hơn.
Ví dụ 3 (một cạnh và hai góc)
Cho tam giác ABC có A = 45°, B = 75°, a = 6. Tính C, R, b, c.
- C = 180° – 45° – 75° = 60°.
- 2R = a/sinA = 6/(√2/2) = 6√2, nên R = 3√2 ≈ 4,24.
- b = 2R·sinB = 6√2·sin75° = 6√2·(√6 + √2)/4 = 3(√3 + 1) ≈ 8,20.
- c = 2R·sinC = 6√2·(√3/2) = 3√6 ≈ 7,35.
4. Các công thức tính diện tích tam giác
| Công thức | Dùng khi biết |
|---|---|
| S = ½·bc·sinA = ½·ca·sinB = ½·ab·sinC | Hai cạnh và góc xen giữa |
| S = abc/(4R) | Ba cạnh và bán kính ngoại tiếp |
| S = p·r | Nửa chu vi và bán kính nội tiếp |
| S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)] (Heron) | Chỉ biết ba cạnh |
| S = ½·a·ha | Một cạnh và đường cao tương ứng |
Ví dụ 4: dùng cả bốn công thức trên cùng một tam giác
Với tam giác có a = 7, b = 8, c = 9 ở Ví dụ 2: p = 12.
- Heron: S = √(12·5·4·3) = √720 = 12√5 ≈ 26,83.
- R = abc/(4S) = 504/(48√5) = 10,5/√5 ≈ 4,70.
- r = S/p = 12√5/12 = √5 ≈ 2,24.
- Kiểm tra bằng công thức góc: sinA = √(1 – 4/9) = √5/3, nên S = ½·8·9·√5/3 = 12√5. Hai cách cho cùng kết quả.
5. Giải tam giác
Giải tam giác là tính các cạnh và góc chưa biết khi đã biết một số yếu tố. Sách giáo khoa xét ba trường hợp thường gặp:
| Đã biết | Bước 1 | Bước tiếp theo |
|---|---|---|
| Hai cạnh và góc xen giữa | Định lí côsin tìm cạnh thứ ba | Tìm góc bằng hệ quả côsin, góc còn lại lấy 180° trừ đi |
| Ba cạnh | Hệ quả côsin tìm hai góc | Góc thứ ba = 180° – tổng hai góc |
| Một cạnh và hai góc | Tìm góc thứ ba | Định lí sin tìm hai cạnh còn lại |
Ví dụ 5 (hai cạnh và góc xen giữa)
Giải tam giác ABC biết b = 8, c = 6, A = 50°.
- a² = 64 + 36 – 96·cos50° ≈ 100 – 61,71 = 38,29, suy ra a ≈ 6,19.
- cosB = (a² + c² – b²)/(2ac) = (38,29 + 36 – 64)/(2·6,19·6) ≈ 0,139, suy ra B ≈ 82°.
- C = 180° – 50° – 82° = 48°. Kiểm tra: cosC = (38,29 + 64 – 36)/(2·6,19·8) ≈ 0,67, ứng với C ≈ 48°.
Vì sao không dùng định lí sin để tìm B? Vì sinB ≈ 0,99 ứng với cả góc nhọn lẫn góc tù (82° hoặc 98°), em dễ chọn sai. Dùng côsin thì mỗi giá trị chỉ cho đúng một góc trong khoảng 0° đến 180°.
Ví dụ 6 (ứng dụng đo khoảng cách)
Muốn biết khoảng cách từ hai điểm A, B bên này sông đến một cây C bên kia sông, người ta đo AB = 40 m, góc CAB = 65°, góc CBA = 50°. Tính AC và khoảng cách từ C đến bờ AB.
- Góc ACB = 180° – 65° – 50° = 65°.
- Định lí sin: AC/sinB = AB/sinC, nên AC = 40·sin50°/sin65° ≈ 40·0,766/0,906 ≈ 33,81 m.
- Khoảng cách từ C đến AB: h = AC·sinA ≈ 33,81·0,906 ≈ 30,64 m (cũng bằng AB·sin50° vì tam giác cân tại B).
6. Lỗi sai thường gặp
- Nhầm cạnh với góc đối diện: luôn vẽ hình và ghi a, b, c cạnh đối diện A, B, C trước khi thay số.
- Máy tính đang ở chế độ radian: kiểm tra đang ở chế độ độ (Deg) trước khi bấm sin, cos.
- Dùng định lí sin để tìm góc khi góc đó có thể tù; hãy ưu tiên hệ quả côsin.
- Quên rằng p là nửa chu vi khi dùng công thức Heron.
- Làm tròn sớm ở bước trung gian khiến kết quả cuối lệch; hãy giữ nhiều chữ số rồi mới làm tròn.
7. Bài luyện tập có đáp án
- Cho tam giác có a = 13, b = 14, c = 15. Tính S, R, r và đường cao ha.
- Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, A = 60°. Tính BC và diện tích tam giác.
- Tam giác có ba cạnh 4, 5, 7 có góc tù không? Nếu có, tính góc đó.
Đáp án:
- p = 21; S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84; R = 13·14·15/(4·84) = 2730/336 = 65/8 = 8,125; r = 84/21 = 4; ha = 2S/a = 168/13 ≈ 12,92.
- BC² = 25 + 64 – 2·5·8·½ = 49, nên BC = 7; S = ½·5·8·sin60° = 10√3 ≈ 17,32.
- Góc đối diện cạnh 7: cosC = (16 + 25 – 49)/(2·4·5) = –8/40 = –0,2 < 0, nên C là góc tù, C ≈ 101,54°.
8. Học tiếp và luyện đề
- Ôn lại nền tảng: Lý thuyết Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
- Giải SGK Toán 10 Bài 6
- Sách bài tập Toán 10 Bài 6
- 20 câu trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án
- Bài kế tiếp: Lý thuyết Bài 7: Các khái niệm mở đầu về vectơ
Câu hỏi thường gặp
Khi nào dùng định lí côsin, khi nào dùng định lí sin?
Dùng định lí côsin khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc biết ba cạnh. Dùng định lí sin khi biết một cạnh và hai góc, hoặc cần liên hệ với bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
Công thức Heron dùng để làm gì?
Công thức S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)] với p là nửa chu vi giúp tính diện tích khi chỉ biết độ dài ba cạnh, không cần biết góc hay đường cao.
Làm sao biết tam giác có góc tù mà không cần tính góc?
Xét cạnh lớn nhất, chẳng hạn a. Nếu a² > b² + c² thì cosA < 0 nên A là góc tù; nếu a² = b² + c² thì tam giác vuông tại A; nếu a² < b² + c² thì A nhọn.
Giải tam giác nghĩa là gì?
Là tính độ dài các cạnh và số đo các góc chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố, thường bằng định lí côsin, định lí sin và tổng ba góc bằng 180°.