Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành: D(3; 1)
Lớp 10Toán

Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành: A(1;1), B(2;4), C(4;4)

Trả lời nhanh

Với A(1;1), B(2;4), C(4;4), tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi vectơ AB = vectơ DC. Giải ra được D(3;1). Công thức nhanh: D = A + C − B, tức xD = xA + xC − xB và yD = yA + yC − yB. Lưu ý: nếu đề của bạn có dấu âm ở một tọa độ, hãy thay số vào đúng cách làm dưới đây.

Đề bài quen thuộc: “Cho ba điểm A(1;1), B(2;4), C(4;4). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.” Dưới đây là cách giải và cách kiểm tra lại kết quả.

Điều kiện để ABCD là hình bình hành

Tứ giác ABCD (các đỉnh viết theo thứ tự) là hình bình hành khi hai cạnh đối song song và bằng nhau. Viết bằng vectơ:

  • AB→ = DC→ (hoặc tương đương AD→ = BC→);
  • hoặc hai đường chéo AC và BD có cùng trung điểm.

Điều kiện kèm theo: ba điểm A, B, C phải không thẳng hàng, nếu không sẽ không có hình bình hành.

Cách giải chi tiết

Bước 1. Kiểm tra A, B, C không thẳng hàng. AB→ = (2 − 1; 4 − 1) = (1; 3), AC→ = (4 − 1; 4 − 1) = (3; 3). Hai vectơ không cùng tỉ lệ (1/3 ≠ 3/3) nên A, B, C không thẳng hàng.

Bước 2. Gọi D(x; y) và lập AB→ = DC→. Ta có DC→ = (4 − x; 4 − y).

Bước 3. Giải hệ:

  • 4 − x = 1 ⟹ x = 3;
  • 4 − y = 3 ⟹ y = 1.

Vậy D(3; 1).

Hình bình hành ABCD trên mặt phẳng tọa độ với A(1;1), B(2;4), C(4;4), D(3;1)
Hình bình hành ABCD với D(3;1); hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm I(2,5; 2,5).

Kiểm tra lại bằng trung điểm hai đường chéo

  • Trung điểm AC: ((1 + 4)/2; (1 + 4)/2) = (2,5; 2,5).
  • Trung điểm BD: ((2 + 3)/2; (4 + 1)/2) = (2,5; 2,5).

Hai trung điểm trùng nhau nên ABCD đúng là hình bình hành. Ngoài ra AD→ = (2; 0) và BC→ = (2; 0), cũng bằng nhau.

Công thức nhanh cần nhớ

Từ AB→ = DC→ suy ra B − A = C − D, tức D = A + C − B. Mẹo nhớ: D đối diện với B, nên D “bằng tổng hai đỉnh kề B trừ chính B”. Thay số: xD = 1 + 4 − 2 = 3; yD = 1 + 4 − 4 = 1. Khớp với kết quả trên.

Lỗi sai thường gặp

  • Đảo chiều vectơ: viết AB→ = CD→ sẽ ra điểm sai. Phải là AB→ = DC→ vì AB và DC là hai cạnh đối cùng hướng.
  • Quên thứ tự đỉnh: “ABCD” nghĩa là A–B–C–D nối vòng, đường chéo là AC và BD. Đề đổi thành “ABDC” thì kết quả khác.
  • Sai dấu khi trừ tọa độ: luôn lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.

Nếu đề không nói rõ thứ tự đỉnh

Khi đề chỉ yêu cầu “tìm D để A, B, C, D là bốn đỉnh một hình bình hành”, sẽ có tối đa ba vị trí của D, ứng với việc điểm nào đối diện với D:

Đỉnh đối diện D Công thức Kết quả với A(1;1), B(2;4), C(4;4)
B (ABCD) D = A + C − B (3; 1)
C (ABDC) D = A + B − C (−1; 1)
A (ADBC) D = B + C − A (5; 7)

Ví dụ tự đặt khác

Cho A(−1; 2), B(3; 1), C(5; 4). Tìm D để ABCD là hình bình hành. Ta có D = A + C − B = (−1 + 5 − 3; 2 + 4 − 1) = (1; 5). Kiểm tra: trung điểm AC là (2; 3), trung điểm BD là ((3 + 1)/2; (1 + 5)/2) = (2; 3). Đúng.

Bài luyện tập

  1. Cho A(0; 2), B(3; −1), C(5; 3). Tìm D để ABCD là hình bình hành.
    Đáp án: D = (0 + 5 − 3; 2 + 3 + 1) = (2; 6).
  2. Cho A(2; 1), B(4; 5), C(6; 2). Tìm D để ABDC là hình bình hành.
    Đáp án: D = B + C − A = (4 + 6 − 2; 5 + 2 − 1) = (8; 6).
  3. Cho A(1; 1), B(2; 2), C(3; 3). Có tồn tại D để ABCD là hình bình hành không?
    Đáp án: Không, vì AB→ = (1; 1) và AC→ = (2; 2) cùng phương nên A, B, C thẳng hàng.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành là gì?

Vì AB = DC (vectơ) nên D = A + C − B, tức x_D = x_A + x_C − x_B và y_D = y_A + y_C − y_B.

Với A(1;1), B(2;4), C(4;4) thì D có tọa độ bao nhiêu?

D(3;1). Kiểm tra: trung điểm AC và BD cùng là (2,5; 2,5).

Làm sao kiểm tra nhanh kết quả D vừa tìm?

Tính trung điểm của AC và BD, nếu trùng nhau thì ABCD là hình bình hành. Có thể kiểm tra thêm AD = BC (vectơ).

Khi nào không tìm được điểm D?

Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng, vì khi đó không tạo được hình bình hành không suy biến.

Bài học liên quan