Trả lời nhanh
∀ là kí hiệu toán học đọc là “với mọi” (hay “với tất cả”). Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, P(x)” nói rằng mọi số thực x đều thoả P(x). Phủ định của nó là “∃x ∈ ℝ, không P(x)”, tức là chỉ cần tồn tại ít nhất một số x không thoả P(x). Khi đó ∀ đổi thành ∃ và tính chất P bị phủ định.
∀ là gì? Cách đọc và cách dùng
∀ là chữ A viết ngược, lấy từ chữ “All” (tất cả). Trong chương Mệnh đề ở Toán 10, ∀ được gọi là kí hiệu “với mọi”. Nó thường đi kèm một tập hợp để chỉ rõ x chạy trong đâu, ví dụ x ∈ ℝ, n ∈ ℕ.
Kí hiệu đi cặp với ∀ là ∃ (E viết ngược, từ “Exists”), đọc là “tồn tại” hoặc “có ít nhất một”.
| Kí hiệu | Đọc là | Ý nghĩa | Ví dụ |
|---|---|---|---|
| ∀ | với mọi | đúng cho tất cả phần tử của tập | ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 (đúng) |
| ∃ | tồn tại / có ít nhất một | có ít nhất một phần tử thoả | ∃x ∈ ℝ, x² = 2 (đúng, x = √2) |
Lưu ý: “tồn tại” trong toán học nghĩa là có ít nhất một, không bắt buộc là duy nhất.
Quy tắc phủ định mệnh đề có ∀ và ∃
Hãy nhớ một câu: phủ định thì ∀ thành ∃, ∃ thành ∀, và mệnh đề P(x) đổi thành phủ định của nó.
- Phủ định của “∀x ∈ X, P(x)” là “∃x ∈ X, không P(x)”.
- Phủ định của “∃x ∈ X, P(x)” là “∀x ∈ X, không P(x)”.
Vì sao? Muốn bác bỏ lời khẳng định “ai cũng đạt”, chỉ cần chỉ ra một người không đạt. Ngược lại, muốn bác bỏ “có người đạt” thì phải chứng tỏ không ai đạt cả. Đây cũng là lý do một phản ví dụ đủ để chứng minh mệnh đề “với mọi” là sai.
Bảng phủ định thường gặp của P(x)
| P(x) | Không P(x) |
|---|---|
| x = a | x ≠ a |
| x > a | x ≤ a |
| x ≥ a | x < a |
| P(x) hoặc Q(x) | không P(x) và không Q(x) |
| P(x) và Q(x) | không P(x) hoặc không Q(x) |
Phủ định mệnh đề “với mọi x thuộc ℝ” có chứa “hoặc”
Dạng bài hay gặp: mệnh đề có “với mọi x ∈ ℝ” và hai điều kiện nối bằng “hoặc”. Làm theo hai bước: đổi ∀ thành ∃, rồi phủ định phần điều kiện, trong đó “hoặc” đổi thành “và”.
Ví dụ 1 (tự đặt). A: “∀x ∈ ℝ, x ≤ 1 hoặc x ≥ 2”.
- Đổi ∀ thành ∃.
- Phủ định “x ≤ 1” là “x > 1”; phủ định “x ≥ 2” là “x < 2”; “hoặc” thành “và”.
Vậy phủ định là: “∃x ∈ ℝ, x > 1 và x < 2” (tức là tồn tại x với 1 < x < 2). Mệnh đề phủ định này đúng (chọn x = 1,5), nên mệnh đề A sai.
Ví dụ 2. B: “∀x ∈ ℝ, x² ≥ x”.
Phủ định: “∃x ∈ ℝ, x² < x”. Chọn x = 0,5 thì x² = 0,25 < 0,5 nên phủ định đúng, suy ra B sai. Nhiều bạn tính nhanh x = 0, 1, 2 đều thoả và kết luận B đúng. Đó là sai lầm vì thử vài giá trị không thể chứng minh mệnh đề “với mọi”.
Ví dụ 3. C: “∃n ∈ ℕ, n² + 1 chia hết cho 3”.
Phủ định: “∀n ∈ ℕ, n² + 1 không chia hết cho 3”. Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1, nên n² + 1 chia 3 dư 1 hoặc 2, không bao giờ dư 0. Vậy phủ định đúng, C sai.
Lỗi sai thường gặp
- Chỉ đổi ∀ thành ∃ mà quên phủ định điều kiện. “∃x, x² ≥ x” không phải phủ định của B.
- Phủ định “x > a” thành “x < a”. Đúng phải là “x ≤ a”, vì dấu bằng thuộc phần phủ định.
- Giữ nguyên “hoặc”. Phủ định “hoặc” phải thành “và” (và ngược lại).
- Nhầm “không tồn tại” với “có một cái không thoả”. “Không tồn tại x thoả P” nghĩa là mọi x đều không thoả P.
Mẹo nhớ nhanh
Đọc ∀ là “mọi”, ∃ là “có ít nhất một”. Khi phủ định, hãy tưởng tượng bạn đang “bắt lỗi” câu khẳng định: với câu “mọi”, bạn tìm một ngoại lệ; với câu “có”, bạn phải chứng minh không có ngoại lệ nào đúng.
Bài luyện tập có đáp án
- Lập phủ định của “∀x ∈ ℝ, x > 3 hoặc x < −3” và xét tính đúng sai của mệnh đề ban đầu.
- Lập phủ định của “∃x ∈ ℝ, x² = 2” rồi cho biết mệnh đề nào đúng.
- Lập phủ định của “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2”.
Đáp án.
- Phủ định: “∃x ∈ ℝ, −3 ≤ x ≤ 3” (tức x ≤ 3 và x ≥ −3). Phủ định đúng (x = 0) nên mệnh đề ban đầu sai.
- Phủ định: “∀x ∈ ℝ, x² ≠ 2”. Mệnh đề gốc đúng (x = √2), phủ định sai.
- Phủ định: “∃n ∈ ℕ, n(n + 1) không chia hết cho 2”. Tích hai số tự nhiên liên tiếp luôn chẵn nên phủ định sai, mệnh đề gốc đúng.
Câu hỏi thường gặp
∀ là gì trong toán học?
∀ là kí hiệu “với mọi”, dùng để nói một tính chất đúng cho tất cả phần tử của một tập hợp, ví dụ ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0.
Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, P(x)” là gì?
Là “∃x ∈ ℝ, không P(x)”: đổi ∀ thành ∃ và phủ định điều kiện P(x). Chỉ cần một giá trị x không thoả là đủ.
Phủ định của mệnh đề có “hoặc” thì xử lý thế nào?
Phủ định từng vế rồi đổi “hoặc” thành “và”. Ví dụ phủ định của “x ≤ 1 hoặc x ≥ 2” là “x > 1 và x < 2”.
∃ khác ∀ ở điểm nào?
∀ nghĩa là mọi phần tử đều thoả, còn ∃ nghĩa là có ít nhất một phần tử thoả. Hai kí hiệu này là phủ định của nhau khi lập mệnh đề phủ định.