Trả lời nhanh
Để biết mệnh đề nào đúng, em xét từng phương án một. Mệnh đề “∀” chỉ đúng khi không có ngoại lệ nào, chỉ cần một phản ví dụ là sai. Mệnh đề “∃” chỉ cần tìm được một giá trị thỏa mãn là đúng. Mệnh đề “P ⇒ Q” chỉ sai khi P đúng mà Q sai. Dưới đây là cách làm và các ví dụ tự đặt.
Đề gốc của câu hỏi này thường có bốn phương án chứa kí hiệu ∀, ∃ với tập số tự nhiên ℕ. Vì không có đủ dữ liệu về các phương án cụ thể, trang này hướng dẫn phương pháp chung và dùng ví dụ do thầy tự đặt. Em áp dụng đúng các bước này cho đề của mình là chọn được đáp án.
Ba quy tắc cần nhớ
| Dạng mệnh đề | Khi nào đúng? | Khi nào sai? |
|---|---|---|
| ∀x ∈ X, P(x) | Mọi x trong X đều thỏa P(x) | Có ít nhất một x không thỏa (phản ví dụ) |
| ∃x ∈ X, P(x) | Tìm được ít nhất một x thỏa P(x) | Không x nào thỏa |
| P ⇒ Q | Trừ trường hợp dưới đây | Chỉ khi P đúng và Q sai |
Mẹo nhớ: “∀ thì đi tìm phản ví dụ, ∃ thì đi tìm ví dụ”.
Các bước giải một câu trắc nghiệm
- Đọc kĩ tập số: ℕ có số 0, ℕ* thì không; ℤ có số âm; ℝ gồm cả số vô tỉ.
- Với phương án “∀”: thử các giá trị đặc biệt như 0, 1, 2, số âm, số thập phân để tìm phản ví dụ.
- Với phương án “∃”: thử vài giá trị nhỏ, hoặc giải phương trình rồi kiểm tra nghiệm có thuộc tập đã cho không.
- Loại phương án sai, giữ lại phương án đúng duy nhất.
Ví dụ 1 (tự đặt)
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
- A. ∀n ∈ ℕ, n² > n
- B. ∃k ∈ ℕ, k² + k = 0
- C. ∀n ∈ ℕ, n + 1 là số chẵn
- D. ∃n ∈ ℕ, n² = 2
Đáp án: B.
- A sai: với n = 0 thì 0² = 0, không lớn hơn 0; n = 1 cũng cho 1 = 1.
- B đúng: chọn k = 0 thì 0² + 0 = 0, mà 0 ∈ ℕ.
- C sai: n = 2 thì n + 1 = 3 là số lẻ.
- D sai: n² = 2 chỉ có nghiệm n = ±√2, không phải số tự nhiên.
Ví dụ 2: mệnh đề phủ định
Phủ định của “∀n ∈ ℕ, n² ≥ n” là “∃n ∈ ℕ, n² < n”. Quy tắc: đổi ∀ thành ∃ (và ngược lại), rồi phủ định phần điều kiện (≥ thành <, = thành ≠).
Mệnh đề gốc đúng (n = 0: 0 ≥ 0; n ≥ 1 thì n² ≥ n), nên mệnh đề phủ định sai. Một mệnh đề và phủ định của nó luôn có tính đúng sai trái ngược nhau.
Ví dụ 3: mệnh đề kéo theo và đảo
- “Nếu a chia hết cho 4 thì a chia hết cho 2”: đúng, vì 4 = 2·2.
- Mệnh đề đảo “Nếu a chia hết cho 2 thì a chia hết cho 4”: sai, phản ví dụ a = 6.
Lỗi sai thường gặp
- Thử vài giá trị thấy đúng rồi kết luận mệnh đề “∀” đúng. Thử nghiệm không thay cho chứng minh; chỉ phản ví dụ mới kết luận được là sai.
- Quên số 0 thuộc ℕ, dẫn đến bỏ sót phản ví dụ hoặc ví dụ.
- Phủ định sai: viết phủ định của “>” là “<” thay vì “≤”.
- Nhầm mệnh đề đảo với mệnh đề ban đầu: hai mệnh đề này không tương đương nhau.
Bài luyện tập
Bài 1. Mệnh đề nào đúng? A. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0; B. ∃x ∈ ℝ, x² < 0; C. ∀x ∈ ℝ, x > x²; D. ∃x ∈ ℤ, 2x = 1.
Đáp án: A. B sai vì bình phương không âm; C sai với x = 1 (1 > 1 là sai); D sai vì x = 1/2 không thuộc ℤ.
Bài 2. Viết mệnh đề phủ định của “∃x ∈ ℝ, x² = 3”.
Đáp án: “∀x ∈ ℝ, x² ≠ 3”. Mệnh đề gốc đúng (x = √3) nên phủ định sai.
Bài 3. “∀n ∈ ℕ*, n² + n chia hết cho 2” đúng hay sai?
Đáp án: đúng. Vì n² + n = n(n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, luôn có một thừa số chẵn.
Câu hỏi thường gặp
Mệnh đề chứa ∀ sai khi nào?
Chỉ cần tìm được một giá trị thuộc tập đang xét mà không thỏa điều kiện (phản ví dụ) thì mệnh đề chứa ∀ là sai.
Số 0 có thuộc tập ℕ không?
Có. Tập ℕ gồm 0, 1, 2, 3, …; còn ℕ* là tập số tự nhiên khác 0. Đây là chi tiết dễ làm sai khi tìm phản ví dụ.
Cách lập mệnh đề phủ định của mệnh đề có ∀ hoặc ∃?
Đổi ∀ thành ∃ hoặc ∃ thành ∀, đồng thời phủ định phần điều kiện: > thành ≤, ≥ thành <, = thành ≠.
Mệnh đề P ⇒ Q sai trong trường hợp nào?
Chỉ sai khi P đúng còn Q sai. Nếu P sai thì P ⇒ Q luôn đúng, bất kể Q đúng hay sai.