Trả lời nhanh
Gọi x, y lần lượt là số ha khoai lang và khoai mì. Lập hệ: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8 và 10x + 12y ≤ (tổng ngày công). Vẽ miền nghiệm, tính giá trị hàm lợi nhuận F tại các đỉnh rồi chọn giá trị lớn nhất. Đề trên chỉ nêu số ngày công của khoai lang nên bên dưới dùng số liệu ví dụ tự đặt để minh hoạ.
Đề bài thuộc dạng nào?
Bài toán có dạng: “Bác Nam dự định trồng khoai lang và khoai mì trên mảnh đất 8 ha. Trồng 1 ha khoai lang cần 10 ngày công, trồng 1 ha khoai mì cần một số ngày công nhất định…”. Đây là bài toán tối ưu (quy hoạch tuyến tính) trong phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn của Toán 10.
Phần đề ngắn gọn ở tiêu đề không cho đủ số ngày công của khoai mì, số ngày công tối đa và tiền thu về. Vì vậy, thay vì đoán số liệu, mình giải theo phương pháp chung với một bộ số do mình tự đặt. Em chỉ cần thay số trong đề của em vào đúng các bước là ra đáp án.
Ví dụ minh hoạ (số liệu tự đặt)
Giả sử: 1 ha khoai lang cần 10 ngày công, thu về 25 triệu đồng; 1 ha khoai mì cần 12 ngày công, thu về 28 triệu đồng. Bác Nam có tối đa 90 ngày công. Hỏi nên trồng mỗi loại bao nhiêu ha để thu nhiều tiền nhất?
Các bước giải
Bước 1. Đặt ẩn và điều kiện
Gọi x là số ha khoai lang, y là số ha khoai mì. Diện tích không âm nên x ≥ 0, y ≥ 0.
Bước 2. Lập các ràng buộc
- Diện tích đất: x + y ≤ 8.
- Ngày công: 10x + 12y ≤ 90.
Hàm cần tìm giá trị lớn nhất (số tiền thu về, đơn vị triệu đồng): F = 25x + 28y.
Bước 3. Vẽ miền nghiệm
Vẽ hai đường thẳng x + y = 8 và 10x + 12y = 90. Miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất và phía dưới cả hai đường. Đó là một tứ giác lồi.
Bước 4. Tìm toạ độ các đỉnh
- O(0; 0).
- A(8; 0): trên trục hoành, x + y = 8 nên x = 8; kiểm tra 10·8 = 80 ≤ 90 nên thoả.
- C(0; 7,5): trên trục tung, 12y = 90 nên y = 7,5; kiểm tra 7,5 ≤ 8 nên thoả.
- B: giao của hai đường. Từ x + y = 8 suy ra y = 8 − x, thay vào: 10x + 12(8 − x) = 90 ⇒ −2x + 96 = 90 ⇒ x = 3, y = 5. Vậy B(3; 5).
Bước 5. Tính F tại từng đỉnh
| Đỉnh | (x; y) | F = 25x + 28y (triệu đồng) |
|---|---|---|
| O | (0; 0) | 0 |
| A | (8; 0) | 200 |
| B | (3; 5) | 75 + 140 = 215 |
| C | (0; 7,5) | 210 |
Bước 6. Kết luận
F lớn nhất bằng 215 triệu đồng tại B(3; 5). Vậy bác Nam nên trồng 3 ha khoai lang và 5 ha khoai mì. Khi đó dùng đúng 8 ha đất và 10·3 + 12·5 = 90 ngày công, không thừa tài nguyên nào.
Vì sao chỉ cần xét các đỉnh?
F = 25x + 28y là hàm bậc nhất. Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm bậc nhất trên một miền đa giác lồi luôn đạt tại một đỉnh của đa giác. Nên ta không phải thử mọi điểm trong miền mà chỉ so sánh vài đỉnh.
Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 làm miền nghiệm bị mở rộng sai.
- Chỉ chọn đỉnh “đẹp” như (8; 0) hay (0; 7,5) mà bỏ qua giao điểm B. Trong ví dụ này, B mới là đáp án.
- Quên kiểm tra đỉnh có thoả mọi ràng buộc không. Ví dụ nếu lấy (0; 8) trên đường x + y = 8 thì 12·8 = 96 > 90, đỉnh này bị loại.
- Quên điều kiện số nguyên nếu đề yêu cầu số ha là số nguyên; khi đó phải xét các điểm nguyên gần đỉnh.
Mẹo nhớ
Thứ tự “Đặt ẩn – Lập ràng buộc – Vẽ miền – Tìm đỉnh – Thay vào F – Kết luận” giúp em không sót bước. Nếu đề cho lợi nhuận tính theo tỉ lệ khác, đáp án có thể chuyển sang đỉnh khác. Ví dụ với F = 30x + 25y, các giá trị tại O, A, B, C lần lượt là 0; 240; 215; 187,5, nên phương án tốt nhất là trồng 8 ha khoai lang.
Bài luyện tập
Bài 1. Bác Lan có 6 ha đất. 1 ha ngô cần 8 ngày công, lãi 15 triệu đồng; 1 ha đậu cần 10 ngày công, lãi 18 triệu đồng. Bác có tối đa 54 ngày công. Tìm phương án lãi nhiều nhất.
Đáp án: Hệ: x + y ≤ 6, 8x + 10y ≤ 54, x, y ≥ 0. Các đỉnh: (0; 0), (6; 0), (3; 3), (0; 5,4). F = 15x + 18y lần lượt bằng 0; 90; 99; 97,2. Lãi lớn nhất 99 triệu đồng khi trồng 3 ha ngô và 3 ha đậu.
Bài 2. Giữ nguyên ví dụ ở trên nhưng bác Nam chỉ có tối đa 84 ngày công. Tìm đỉnh giao của hai đường thẳng.
Đáp án: 10x + 12(8 − x) = 84 ⇒ −2x = −12 ⇒ x = 6, y = 2. Giao điểm là (6; 2); em tiếp tục tính F tại các đỉnh (0; 0), (8; 0), (6; 2), (0; 7) để chọn phương án tốt nhất (F lần lượt 0; 200; 206; 196, nên chọn 6 ha khoai lang và 2 ha khoai mì).
Câu hỏi thường gặp
Đề bài bác Nam trồng khoai lang và khoai mì giải bằng kiến thức nào?
Dùng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: đặt x, y là số ha mỗi loại, lập các ràng buộc về diện tích và ngày công, vẽ miền nghiệm rồi tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận tại các đỉnh.
Vì sao chỉ cần tính giá trị hàm lợi nhuận tại các đỉnh của miền nghiệm?
Hàm F = ax + by là hàm bậc nhất nên trên miền đa giác lồi nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một đỉnh của miền đó.
Nếu số ha tìm được không nguyên thì sao?
Nếu đề không yêu cầu số nguyên thì giữ nguyên kết quả, ví dụ 7,5 ha. Nếu đề bắt buộc số nguyên thì xét các điểm nguyên gần đỉnh và thoả mọi ràng buộc, rồi so sánh F.
Tại sao ví dụ trên dùng số liệu tự đặt?
Tiêu đề chỉ cho biết diện tích 8 ha và 10 ngày công cho 1 ha khoai lang, còn thiếu các dữ kiện khác. Phương pháp giải là như nhau nên em chỉ cần thay số liệu trong đề của mình.