Trả lời nhanh
Hiểu đề là tính tích vô hướng AB · AC (vectơ) của hình vuông ABCD cạnh a. Kết quả: AB · AC = a². Lý do: AC = a√2 và góc giữa hai vectơ AB, AC bằng 45°, nên AB · AC = a · a√2 · cos 45° = a · a√2 · (√2/2) = a².
Đề bài và hình vẽ
Đề: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB · AC (với AB, AC là các vectơ).
Đây là dạng bài áp dụng định nghĩa tích vô hướng ở lớp 10: a · b = |a| · |b| · cos(a, b). Việc cần làm là tìm độ dài hai vectơ và góc giữa chúng.
Cách 1: Dùng định nghĩa tích vô hướng
- |AB| = a (cạnh hình vuông).
- |AC| = a√2 (đường chéo hình vuông, tính theo Pytago: AC² = AB² + BC² = 2a²).
- Hai vectơ AB và AC cùng xuất phát từ A. Đường chéo AC là phân giác của góc A (vuông) nên góc BAC = 45°, tức (AB, AC) = 45°.
- Vậy AB · AC = a · a√2 · cos 45° = a · a√2 · √2/2 = a².
Cách 2: Phân tích vectơ
Theo quy tắc hình bình hành (ABCD là hình vuông nên cũng là hình bình hành): AC = AB + AD.
AB · AC = AB · (AB + AD) = AB² + AB · AD.
Vì AB ⊥ AD nên AB · AD = 0, còn AB² = |AB|² = a². Do đó AB · AC = a² + 0 = a².
Cách này nhanh và không cần nhớ giá trị cos 45°, rất đáng dùng khi làm trắc nghiệm.
Cách 3: Dùng hình chiếu
Hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AB chính là B. Khi đó AB · AC = AB · AB = a². Công thức này hữu ích: tích vô hướng AB · AC bằng AB nhân với độ dài hình chiếu (có dấu) của AC trên AB.
Cách 4: Dùng toạ độ (kiểm tra lại)
Chọn hệ trục với A(0; 0), B(a; 0), D(0; a), suy ra C(a; a). Khi đó AB = (a; 0), AC = (a; a).
AB · AC = a·a + 0·a = a². Kết quả trùng ba cách trên.
Các biến thể hay gặp trong hình vuông cạnh a
Với cùng hệ toạ độ A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a):
| Biểu thức | Kết quả | Giải thích ngắn |
|---|---|---|
| AB · AD | 0 | AB ⊥ AD |
| AB · CA | −a² | CA = −AC nên đổi dấu |
| AB · CD | −a² | CD = −AB, hai vectơ ngược hướng |
| AC · BD | 0 | Hai đường chéo vuông góc |
| AC · AD | a² | Tương tự AB · AC |
| |AB + AC| | a√5 | AB + AC = (2a; a) |
| |AB − AC| | a | AB − AC = CB, độ dài a |
Nếu đề gốc của bạn hỏi độ dài tổng hoặc hiệu hai vectơ thay vì tích vô hướng, hãy xem hai dòng cuối của bảng.
Lỗi sai thường gặp
- Quên căn 2 của đường chéo: viết |AC| = a rồi suy ra tích bằng a·a·cos 45° = a²√2/2. Sai.
- Nhầm góc: với AB · CA, hai vectơ không chung gốc. Muốn lấy góc phải dời về chung gốc; góc (AB, CA) = 135°, nên tích là a · a√2 · cos 135° = −a².
- Cho rằng tích vô hướng là vectơ: kết quả luôn là một số thực.
Mẹo nhớ
Trong hình vuông, “tích vô hướng của cạnh với đường chéo xuất phát cùng đỉnh” luôn bằng bình phương cạnh: AB · AC = AD · AC = a². Cứ thấy đường chéo thì nghĩ ngay AC = AB + AD.
Bài luyện tập
- Cho hình vuông ABCD cạnh 3. Tính AC · BD và AD · AC.
- Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a. Tính AB · AC.
- Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính CA · CB.
Đáp án:
- AC · BD = 0 (hai đường chéo vuông góc). AD · AC = AD · (AB + AD) = 0 + 9 = 9.
- AC = AB + AD nên AB · AC = AB² + AB · AD = a² + 0 = a².
- CA = a√2, CB = a, góc ACB = 45° nên CA · CB = a√2 · a · √2/2 = a².
Câu hỏi thường gặp
Cho hình vuông ABCD cạnh a, AB · AC bằng bao nhiêu?
AB · AC = a². Vì |AB| = a, |AC| = a√2, góc giữa chúng là 45° nên tích vô hướng bằng a · a√2 · cos 45° = a².
Vì sao góc giữa AB và AC bằng 45°?
AC là đường chéo nên là phân giác của góc vuông A, chia góc A thành hai góc 45°, trong đó có góc BAC.
AB · CA bằng bao nhiêu trong hình vuông cạnh a?
Bằng −a². CA ngược hướng với AC nên góc giữa AB và CA là 135°, cos 135° = −√2/2, suy ra tích là −a².
Có cách nào tính AB · AC mà không dùng cos 45° không?
Có. Viết AC = AB + AD rồi khai triển: AB · AC = AB² + AB · AD = a² + 0 = a².