Trả lời nhanh
Với ba điểm A, B, C bất kì: →CA − →BA = →CB (chứ không phải →BC) và →AB + →AC ≠ →BC. Hai hệ thức trong đề đều sai. Các hệ thức luôn đúng là →AB + →BC = →AC và →AC − →AB = →BC. Mẹo: hiệu hai vectơ cùng gốc bằng vectơ nối hai đầu mút, hướng từ đầu của vectơ trừ đến đầu của vectơ bị trừ.
Quy ước viết: trong bài này, →AB là vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B.
Đề bài và cách hiểu
Đề thường gặp: “Cho ba điểm A, B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?”, kèm các hệ thức như →CA − →BA = →BC hoặc →AB + →AC = →BC. Vì không có bản gốc của các phương án còn lại, ta sẽ kiểm tra từng hệ thức xuất hiện trong đề, rồi chỉ ra dạng đúng của chúng. Làm như vậy, em gặp phương án nào tương tự cũng tự xử lí được.
Hai công cụ cần nhớ
- Quy tắc ba điểm (cộng): →AB + →BC = →AC. Điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng điểm đầu của vectơ thứ hai.
- Quy tắc hiệu (trừ): →AC − →AB = →BC. Hai vectơ cùng gốc A, hiệu là vectơ nối từ đầu mút của vectơ trừ (B) đến đầu mút của vectơ bị trừ (C).
- Vectơ đối: −→AB = →BA, nên →CB = −→BC.
Kiểm tra từng hệ thức
1. →CA − →BA = →BC?
Đổi dấu: −→BA = →AB. Khi đó →CA − →BA = →CA + →AB. Hai vectơ này nối tiếp nhau (cuối của →CA là A, đầu của →AB là A), áp dụng quy tắc ba điểm được →CB.
Vậy →CA − →BA = →CB = −→BC. Hệ thức →CA − →BA = →BC sai (trừ khi B trùng C). Đây là lỗi ngược chiều rất hay gặp.
2. →AB + →AC = →BC?
Hai vectơ →AB và →AC cùng gốc A nên không nối tiếp được, không dùng quy tắc ba điểm. Nếu M là trung điểm BC thì →AB + →AC = 2→AM. Vectơ 2→AM nói chung không bằng →BC (một vectơ đi từ đỉnh đến trung điểm, một vectơ nằm dọc cạnh đối diện). Hệ thức sai.
Dạng đúng gần nhất: →AC − →AB = →BC, hoặc →AB + →BC = →AC.
Kiểm chứng bằng tọa độ
Chọn ví dụ tự đặt: A(0; 0), B(2; 0), C(1; 3).
| Vectơ | Tọa độ |
|---|---|
| →CA | (−1; −3) |
| →BA | (−2; 0) |
| →CA − →BA | (1; −3) = →CB |
| →BC | (−1; 3) |
| →AB + →AC | (3; 3) |
Ta thấy (1; −3) ≠ (−1; 3), nên →CA − →BA ≠ →BC; và (3; 3) ≠ (−1; 3), nên →AB + →AC ≠ →BC. Một phản ví dụ là đủ để bác bỏ khẳng định “đúng với mọi A, B, C”.
Các hệ thức luôn đúng với ba điểm bất kì
- →AB + →BC = →AC
- →AC − →AB = →BC
- →AB − →AC = →CB
- →CA − →BA = →CB
- →AB + →BC + →CA = →0
Nếu một phương án trắc nghiệm là một trong các dạng trên thì đó là đáp án đúng.
Mẹo làm nhanh
- Thấy phép trừ, đổi thành cộng vectơ đối để tạo chuỗi nối tiếp.
- Thấy phép cộng hai vectơ cùng gốc, nghĩ ngay tới hình bình hành hoặc trung điểm, không dùng quy tắc ba điểm.
- Kiểm tra cuối: vectơ kết quả phải bắt đầu từ điểm đầu của vectơ đầu tiên và kết thúc ở điểm cuối của vectơ cuối cùng.
Lỗi sai thường gặp
- Viết →AC − →AB = →CB (ngược chiều): đúng phải là →BC.
- Cộng hai vectơ cùng gốc rồi cho kết quả là vectơ cạnh thứ ba.
- Quên rằng →BC và →CB là hai vectơ đối nhau, không bằng nhau.
Bài luyện tập
- Rút gọn →MN + →PQ − →PN… cụ thể: rút gọn →MP − →NP. Đáp án: →MP + →PN = →MN.
- Với ba điểm A, B, C, chứng minh →AB − →CB = →AC. Gợi ý: →AB + →BC = →AC, mà −→CB = →BC. Vậy →AB − →CB = →AB + →BC = →AC.
- Với A(1; 1), B(4; 2), C(2; 5), tính →AB + →AC. Đáp án: →AB = (3; 1), →AC = (1; 4), tổng là (4; 5).
Câu hỏi thường gặp
→CA − →BA bằng vectơ nào?
→CA − →BA = →CA + →AB = →CB, tức là vectơ đối của →BC. Do đó nó không bằng →BC.
Khi nào →AB + →AC = →BC?
Chỉ xảy ra trong trường hợp đặc biệt. Ví dụ, nếu A, B, C thẳng hàng với A là trung điểm của... thì phải kiểm tra riêng. Với ba điểm bất kì thì hệ thức này không đúng.
Cách nhớ quy tắc hiệu hai vectơ?
Hai vectơ cùng gốc A: →AC − →AB = →BC. Vectơ hiệu đi từ đầu mút của vectơ trừ đến đầu mút của vectơ bị trừ.
Làm sao loại nhanh phương án sai trong dạng này?
Chọn tọa độ cụ thể cho A, B, C rồi tính hai vế. Chỉ cần hai vế khác nhau là loại được phương án đó.