Trả lời nhanh
Muốn giải bài toán tối ưu lớp 10 (bài toán kinh tế), các em đặt ẩn x, y là số lượng cần tìm rồi viết các điều kiện ràng buộc thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tiếp theo, biểu diễn miền nghiệm (thường là một đa giác), tính giá trị biểu thức mục tiêu F = ax + by tại từng đỉnh. Đỉnh cho F lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) chính là phương án tối ưu.
1. Bài toán tối ưu là gì?
Trong thực tế, người sản xuất luôn muốn lãi nhiều nhất hoặc tốn ít chi phí nhất, nhưng lại bị giới hạn bởi nguyên liệu, giờ máy, nhân công, diện tích… Bài toán tìm phương án tốt nhất trong các giới hạn đó gọi là bài toán tối ưu. Ở lớp 10, dạng này gắn với bài Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (cả ba bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh Diều đều có phần ứng dụng này).
Mỗi bài toán kinh tế dạng này luôn có ba thành phần:
- Ẩn số: x, y (số sản phẩm, số kg, số ha, số xe…), luôn có điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0.
- Ràng buộc: các bất phương trình bậc nhất mô tả giới hạn tài nguyên hoặc yêu cầu tối thiểu.
- Hàm mục tiêu: F = ax + by (lợi nhuận, chi phí…) cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2. Quy trình 4 bước giải bài toán tối ưu
- Đặt ẩn và lập bảng số liệu. Kẻ bảng: hàng là loại sản phẩm, cột là các tài nguyên và lợi nhuận. Bảng giúp em không bỏ sót dữ kiện.
- Lập hệ bất phương trình từ các cột tài nguyên, thêm điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 (và giới hạn trên nếu đề cho).
- Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, xác định tọa độ các đỉnh của đa giác miền nghiệm (giải hệ hai phương trình đường thẳng cắt nhau).
- Tính F tại các đỉnh, so sánh và kết luận bằng lời theo ngữ cảnh đề bài.
Vì sao chỉ cần xét các đỉnh? Đường F = ax + by = c là một đường thẳng; khi c thay đổi, đường này tịnh tiến song song. Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất đạt được ở vị trí đường thẳng “vừa chạm” miền nghiệm lần cuối, mà vị trí ấy luôn đi qua một đỉnh của đa giác. Nếu cần ôn kỹ thao tác tìm cực trị trên miền nghiệm, xem thêm Bài tập tìm GTLN – GTNN trên miền nghiệm của hệ bất phương trình.
3. Ví dụ 1 – Bài toán lợi nhuận lớn nhất
Đề bài (ví dụ tự đặt): Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A và B, dùng chung hai máy I và II. Mỗi lô A cần 2 giờ máy I và 1 giờ máy II; mỗi lô B cần 1 giờ máy I và 3 giờ máy II. Trong một ngày, máy I chạy tối đa 10 giờ, máy II chạy tối đa 15 giờ. Mỗi lô A lãi 3 triệu đồng, mỗi lô B lãi 4 triệu đồng. Hỏi mỗi ngày nên sản xuất bao nhiêu lô mỗi loại để lãi lớn nhất?
Bước 1 – Bảng số liệu:
| Máy I (giờ) | Máy II (giờ) | Lãi (triệu đồng) | |
|---|---|---|---|
| 1 lô A | 2 | 1 | 3 |
| 1 lô B | 1 | 3 | 4 |
| Giới hạn | ≤ 10 | ≤ 15 | – |
Bước 2 – Lập hệ: gọi x, y lần lượt là số lô A, B sản xuất mỗi ngày. Ta có hệ: 2x + y ≤ 10; x + 3y ≤ 15; x ≥ 0; y ≥ 0. Lợi nhuận: F = 3x + 4y (triệu đồng).
Bước 3 – Miền nghiệm là tứ giác OABC với O(0; 0), A(5; 0), C(0; 5) và B là giao điểm của hai đường 2x + y = 10 và x + 3y = 15. Từ phương trình thứ hai, x = 15 − 3y; thay vào phương trình đầu: 30 − 6y + y = 10, suy ra y = 4, x = 3. Vậy B(3; 4).
Bước 4 – Tính F tại các đỉnh:
| Đỉnh | O(0; 0) | A(5; 0) | B(3; 4) | C(0; 5) |
|---|---|---|---|---|
| F = 3x + 4y | 0 | 15 | 25 | 20 |
Kết luận: mỗi ngày sản xuất 3 lô A và 4 lô B thì lãi lớn nhất là 25 triệu đồng. Để ý rằng tại B cả hai máy đều chạy hết công suất (2·3 + 4 = 10 giờ và 3 + 3·4 = 15 giờ). Đây là dấu hiệu quen thuộc: phương án tối ưu thường tận dụng hết tài nguyên khan hiếm.
4. Ví dụ 2 – Bài toán chi phí nhỏ nhất (khẩu phần thức ăn)
Đề bài (ví dụ tự đặt): Một trại chăn nuôi pha hai loại thức ăn X và Y. Mỗi kg X chứa 2 đơn vị đạm và 1 đơn vị chất béo, giá 30 nghìn đồng; mỗi kg Y chứa 1 đơn vị đạm và 2 đơn vị chất béo, giá 20 nghìn đồng. Mỗi ngày đàn vật nuôi cần ít nhất 8 đơn vị đạm và 7 đơn vị chất béo; kho chỉ còn tối đa 5 kg mỗi loại. Mua bao nhiêu kg mỗi loại để chi phí thấp nhất?
Lập hệ: gọi x, y (kg) là lượng thức ăn X, Y. Điều kiện: 2x + y ≥ 8; x + 2y ≥ 7; 0 ≤ x ≤ 5; 0 ≤ y ≤ 5. Chi phí: C = 30x + 20y (nghìn đồng).
Tìm các đỉnh:
- Giao của 2x + y = 8 và x + 2y = 7: x = 7 − 2y, thay vào được 14 − 3y = 8 nên y = 2, x = 3 → M(3; 2).
- Giao của 2x + y = 8 và y = 5: x = 1,5 → N(1,5; 5).
- Giao của x = 5 và y = 5 → P(5; 5).
- Giao của x = 5 và x + 2y = 7: y = 1 → Q(5; 1).
| Đỉnh | M(3; 2) | N(1,5; 5) | P(5; 5) | Q(5; 1) |
|---|---|---|---|---|
| C = 30x + 20y | 130 | 145 | 250 | 170 |
Kết luận: mua 3 kg thức ăn X và 2 kg thức ăn Y, chi phí thấp nhất là 130 nghìn đồng. Khác với Ví dụ 1, ở đây các ràng buộc có dấu “≥” nên miền nghiệm nằm phía xa gốc tọa độ; điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm.
5. Ví dụ 3 – Phân chia diện tích canh tác
Đề bài (ví dụ tự đặt): Một hợp tác xã có 10 ha đất để trồng đậu và cà. Mỗi ha đậu cần 25 ngày công, lãi 4 triệu đồng; mỗi ha cà cần 40 ngày công, lãi 6 triệu đồng. Tổng số ngày công không vượt quá 310. Nên trồng mỗi loại bao nhiêu ha để lãi nhiều nhất?
Lời giải: gọi x, y (ha) là diện tích đậu, cà. Hệ: x + y ≤ 10; 25x + 40y ≤ 310 (chia 5: 5x + 8y ≤ 62); x ≥ 0; y ≥ 0. Lãi: L = 4x + 6y.
- Giao của x + y = 10 và 5x + 8y = 62: thay x = 10 − y được 50 + 3y = 62, y = 4, x = 6 → (6; 4).
- Các đỉnh còn lại: (0; 0), (10; 0), (0; 7,75).
Tính L: L(0; 0) = 0; L(10; 0) = 40; L(0; 7,75) = 46,5; L(6; 4) = 24 + 24 = 48. Vậy trồng 6 ha đậu và 4 ha cà, lãi tối đa 48 triệu đồng.
Nhận xét: trồng toàn cà (lãi mỗi ha cao hơn) chưa phải phương án tốt nhất, vì cà “ngốn” nhiều ngày công, khiến đất bị bỏ trống. Đó chính là lý do phải giải bài toán, không thể đoán theo cảm tính.
6. Ví dụ 4 – Bài toán tối ưu dùng hàm số bậc hai
Một số bài toán kinh tế lớp 10 không dùng hệ bất phương trình mà quy về hàm số bậc hai. Khi đó giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh parabol.
Đề bài (ví dụ tự đặt): Một cửa hàng nhập một loại mũ với giá 40 nghìn đồng/chiếc. Khảo sát cho thấy nếu bán với giá x nghìn đồng (40 ≤ x ≤ 120) thì mỗi tháng bán được (120 − x) chiếc. Định giá bán bao nhiêu để lợi nhuận tháng lớn nhất?
Lời giải: lợi nhuận P(x) = (x − 40)(120 − x) = −x2 + 160x − 4800. Đây là tam thức bậc hai có hệ số a = −1 < 0, nên đạt giá trị lớn nhất tại x = −b/(2a) = 160/2 = 80. Khi đó P(80) = 40 · 40 = 1600 nghìn đồng. Vậy bán giá 80 nghìn đồng/chiếc, lợi nhuận tối đa 1,6 triệu đồng/tháng.
Nếu đề hỏi “giá bán trong khoảng nào để lợi nhuận ít nhất 1,2 triệu”, em giải bất phương trình −x2 + 160x − 4800 ≥ 1200, tức x2 − 160x + 6000 ≤ 0, được 60 ≤ x ≤ 100. Kỹ năng này luyện thêm ở Bài tập giải bất phương trình bậc hai và Bài tập xét dấu biểu thức chứa tam thức bậc hai.
7. Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0: miền nghiệm bị lan sang góc phần tư khác, tìm ra đỉnh “ảo” có tọa độ âm.
- Nhầm chiều bất phương trình: “không vượt quá, tối đa” là ≤; “ít nhất, không dưới” là ≥. Đọc kỹ từng câu trước khi viết.
- Lập ràng buộc theo hàng thay vì theo cột: mỗi bất phương trình ứng với một tài nguyên (một cột của bảng), không phải một sản phẩm.
- Xác định sai phía miền nghiệm: hãy thử bằng một điểm không nằm trên đường thẳng, thường là O(0; 0). Ôn lại ở Bài tập bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Bỏ sót đỉnh: sau khi vẽ, đếm số cạnh của đa giác; số đỉnh phải bằng số cạnh.
- Không kiểm tra điều kiện nguyên: nếu ẩn là số xe, số sản phẩm mà đỉnh tối ưu có tọa độ lẻ, cần xét các điểm nguyên lân cận nằm trong miền nghiệm.
8. Mẹo làm nhanh khi đi thi
- Chia gọn các hệ số trước khi giải (như 25x + 40y ≤ 310 thành 5x + 8y ≤ 62) để giảm sai sót tính toán.
- Với câu trắc nghiệm có sẵn 4 phương án (x; y), chỉ cần thử: loại phương án không thỏa hệ, rồi tính F cho các phương án còn lại.
- Thay tọa độ đỉnh tối ưu vào lại các ràng buộc. Nếu có ràng buộc xảy ra dấu “=”, em yên tâm đỉnh đó tìm đúng.
- Muốn chắc chắn về cách vẽ miền nghiệm nhiều điều kiện, luyện thêm Bài tập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
9. Bài tập luyện tập có đáp án
Bài 1. Một xưởng may áo sơ mi và quần âu. Mỗi áo cần 1 m vải và 2 giờ công, lãi 50 nghìn đồng; mỗi quần cần 2 m vải và 1 giờ công, lãi 70 nghìn đồng. Xưởng có 40 m vải và 50 giờ công. Cần may bao nhiêu áo, bao nhiêu quần để lãi lớn nhất?
Xem đáp án
Hệ: x + 2y ≤ 40; 2x + y ≤ 50; x, y ≥ 0. F = 50x + 70y. Các đỉnh: (0; 0), (25; 0), (0; 20) và giao điểm (20; 10). F lần lượt bằng 0; 1250; 1400; 1700. Vậy may 20 áo và 10 quần, lãi tối đa 1,7 triệu đồng.
Bài 2. Một công ty cần chở ít nhất 100 người và 18 tấn hàng. Xe loại M chở được 20 người và 2 tấn hàng, giá thuê 4 triệu đồng/xe; xe loại N chở 10 người và 3 tấn hàng, giá thuê 3 triệu đồng/xe. Công ty chỉ thuê được tối đa 6 xe M và 8 xe N. Thuê mỗi loại bao nhiêu xe để chi phí thấp nhất?
Xem đáp án
Hệ: 2x + y ≥ 10; 2x + 3y ≥ 18; 0 ≤ x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 8. T = 4x + 3y. Các đỉnh: (3; 4), (1; 8), (6; 8), (6; 2). T lần lượt bằng 24; 28; 48; 30. Vậy thuê 3 xe M và 4 xe N, chi phí thấp nhất 24 triệu đồng.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = 2x + y trên miền nghiệm của hệ: x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 4; x − y ≤ 2.
Xem đáp án
Miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh (0; 0), (2; 0), (3; 1), (0; 4). F lần lượt bằng 0; 4; 7; 4. Giá trị lớn nhất của F là 7, đạt tại x = 3, y = 1.
10. Tóm tắt cần nhớ
- Bài toán tối ưu lớp 10 = hệ ràng buộc + hàm mục tiêu; đáp án nằm ở một đỉnh của miền nghiệm.
- Bảng số liệu là chìa khóa để lập hệ đúng.
- Bài toán lợi nhuận thường có dấu ≤ (giới hạn tài nguyên); bài toán chi phí thường có dấu ≥ (yêu cầu tối thiểu).
- Nếu lợi nhuận là biểu thức bậc hai một ẩn, dùng đỉnh parabol x = −b/(2a).
Câu hỏi thường gặp
Bài toán tối ưu lớp 10 học ở bài nào?
Dạng này thuộc phần ứng dụng của bài Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán 10. Ngoài ra, một số bài toán kinh tế còn dùng hàm số bậc hai để tìm lợi nhuận lớn nhất.
Vì sao giá trị lớn nhất, nhỏ nhất luôn đạt tại đỉnh của miền nghiệm?
Các đường F = ax + by = c song song với nhau. Khi tịnh tiến đường này, vị trí cuối cùng nó còn chạm vào miền nghiệm đa giác luôn đi qua một đỉnh, nên chỉ cần so sánh giá trị F tại các đỉnh.
Nếu đỉnh tối ưu có tọa độ không nguyên mà ẩn là số sản phẩm thì làm sao?
Khi đó em xét các điểm có tọa độ nguyên nằm trong miền nghiệm, gần đỉnh tối ưu, rồi tính F tại từng điểm để chọn điểm cho giá trị tốt nhất.
Làm sao phân biệt dùng dấu ≤ hay ≥ khi lập hệ?
Các cụm 'tối đa', 'không vượt quá', 'chỉ có' thì dùng ≤. Các cụm 'ít nhất', 'tối thiểu', 'không dưới' thì dùng ≥.