Trả lời nhanh
Giá trị lớn nhất của biểu thức f(x y)=x+2y với điều kiện 0 ≤ y ≤ 4, x ≥ 0, x − y − 1 ≤ 0 và x + 2y − 10 ≤ 0 là 10. Đáp án đúng là C. Giá trị 10 đạt tại mọi điểm trên cạnh nối A(4; 3) và B(2; 4), vì trên cạnh đó biểu thức trùng với bờ x + 2y = 10.
Đề bài và các phương án
Tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) = x + 2y biết (x; y) thỏa hệ:
- 0 ≤ y ≤ 4
- x ≥ 0
- x − y − 1 ≤ 0
- x + 2y − 10 ≤ 0
- A. 6
- B. 8
- C. 10
- D. 12
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. Đây là bài tìm cực trị của biểu thức bậc nhất trên miền đa giác, Toán 10, phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vì sao giá trị lớn nhất bằng 10
Biểu thức bậc nhất trên một miền đa giác kín đạt lớn nhất và nhỏ nhất tại đỉnh. Nếu đường mức của biểu thức trùng một cạnh thì cả cạnh đó cùng đạt cực trị. Em vẫn chỉ cần tính tại các đỉnh.
Năm đỉnh là giao của các bờ:
| Đỉnh | Hai bờ cắt nhau | Tọa độ | F = x + 2y |
|---|---|---|---|
| O | x = 0 và y = 0 | (0; 0) | 0 |
| E | y = 0 và x − y − 1 = 0 | (1; 0) | 1 |
| A | x − y − 1 = 0 và x + 2y − 10 = 0 | (4; 3) | 10 |
| B | y = 4 và x + 2y − 10 = 0 | (2; 4) | 10 |
| C | x = 0 và y = 4 | (0; 4) | 8 |
Cách ra A(4; 3): từ x = y + 1 thế vào x + 2y = 10 được y + 1 + 2y = 10, nên 3y = 9, y = 3, x = 4. Điểm này có y = 3 nằm trong đoạn từ 0 đến 4 và x = 4 ≥ 0.
Cách ra B(2; 4): y = 4 thế vào x + 8 = 10, x = 2. Kiểm tra bờ còn lại: 2 ≤ 4 + 1, đúng. C(0; 4) thỏa 0 + 8 ≤ 10 và 0 ≤ 4 + 1. E(1; 0) thỏa 1 + 0 ≤ 10.
So các giá trị: 0, 1, 10, 10, 8. Lớn nhất là 10. Trên cả đoạn AB, x + 2y = 10 nên F không đổi và bằng 10. Điểm trong đoạn, chẳng hạn trung điểm (3; 3,5), cho F = 3 + 7 = 10, nhưng không lớn hơn giá trị tại hai đầu mút.
Vì sao 6, 8 và 12 không phải đáp án
Phương án B là 8, đúng bằng F(0; 4). Đó là đỉnh cao nhất theo trục y, nhưng hệ số của x trong F là số dương, nên dịch sang phải còn làm F tăng, cho tới khi chạm bờ x + 2y = 10. Dừng ở C là dừng sớm.
Phương án D là 12. Điểm (4; 4) cho 4 + 8 = 12, nhưng 4 + 8 = 12 > 10, nên (4; 4) nằm ngoài bờ x + 2y − 10 ≤ 0. Điểm (5; 4) còn cho 13 và vi phạm cả x ≤ y + 1. Em không được lấy điểm chỉ vì nó “trông gần” miền nghiệm.
Phương án A là 6, không trùng đỉnh nào của miền này. F(2; 2) = 6 và F(0; 3) = 6 đều là điểm trong, nhỏ hơn giá trị trên cạnh AB. Nhầm 6 thường do cộng thiếu một lần y, ví dụ tính x + y tại (4; 3) được 7, hoặc tính 2x + y tại (2; 4) được 8 rồi trừ nhầm.
Các lỗi khi xác định miền
Trước khi tính F, em thử một điểm mốc. O(0; 0) cho x − y − 1 = −1 ≤ 0 và x + 2y − 10 = −10 ≤ 0, lại có x ≥ 0 và y trong [0; 4]. Vậy gốc tọa độ thuộc miền. Nửa mặt phẳng cần giữ là nửa chứa O, kể cả bờ.
Một lỗi khác là quên bờ y ≤ 4 rồi kéo miền lên tới giao của x = y + 1 và x + 2y = 10 đã tìm, hoặc kéo tới (0; 5) là giao của x = 0 với x + 2y = 10. Điểm (0; 5) có y = 5, bị loại bởi y ≤ 4, và F(0; 5) = 10 chỉ tình cờ bằng giá trị lớn nhất chứ không phải điểm của miền.
Em cũng đừng đổi dấu khi viết lại bất phương trình. x − y − 1 ≤ 0 nghĩa là x ≤ y + 1, không phải x ≥ y + 1. Nếu đảo dấu, miền nằm bên kia đường thẳng và sẽ không còn ngũ giác O–E–A–B–C.
Ba bài luyện có đáp số
Bài 1. Trên cùng miền trên, giá trị nhỏ nhất của x + 2y bằng bao nhiêu?
Đáp án: 0, tại O(0; 0). Bảng đỉnh đã có số 0 nhỏ hơn 1, 8 và 10.
Bài 2. Tính x + 2y tại (3; 3). Điểm này có thuộc miền không?
Đáp án: F = 9. Kiểm tra: y = 3 nằm trong [0; 4], x = 3 ≥ 0, 3 ≤ 3 + 1, và 3 + 6 = 9 ≤ 10. Điểm thuộc miền, nhưng 9 chưa phải giá trị lớn nhất.
Bài 3. Nếu bỏ điều kiện y ≤ 4, đỉnh mới nào xuất hiện trên tia x = 0?
Đáp án: Giao của x = 0 và x + 2y = 10 là (0; 5). F vẫn bằng 10, không vượt 10, vì mọi điểm trong nửa mặt phẳng x + 2y ≤ 10 đều có F ≤ 10.
Câu hỏi thường gặp
Giá trị lớn nhất của x + 2y trong hệ này là bao nhiêu?
Bằng 10. Đáp án trắc nghiệm thường gặp là C.
Biểu thức đạt 10 tại những điểm nào?
Tại A(4; 3), B(2; 4) và mọi điểm trên đoạn AB, vì đoạn đó nằm trên đường x + 2y = 10.
Vì sao không chọn 8?
8 là giá trị tại C(0; 4). Sang các đỉnh A và B, biểu thức còn tăng lên 10.
Điểm (4; 4) có được tính không?
Không. Tại (4; 4) thì x + 2y = 12, vượt bờ x + 2y ≤ 10 nên điểm nằm ngoài miền nghiệm.
Có cần vẽ hình mới tính được không?
Em nên tìm giao của từng cặp bờ rồi thử lại năm đỉnh. Hình chỉ để khỏi sót đỉnh hoặc lấy nhầm điểm ngoài miền.