Trả lời nhanh
Đàn 3 000 con có tỉ lệ gà trống và gà mái bằng 5 : 3, nên có 1 875 gà trống và 1 125 gà mái. Tỉ lệ giống hiệu quả là 1 trống cho 10,5 mái, tức giữ lại 1 125 : 10,5 = 750/7 ≈ 107,14 gà trống. Số nguyên sát nhất là 107, vậy cần chuyển 1 768 gà trống sang nuôi thịt. Nghiệm thực của hệ là x = 1 875, y = 1 125, z = 12 375/7.
Bài toán sản xuất gà giống đặt ra điều gì?
Hoạt động 1 trang 15, Chuyên đề học tập Toán 10 (Kết nối tri thức), dùng một tình huống chăn nuôi để lập hệ bậc nhất ba ẩn. Diễn đạt lại bằng số liệu của đề: trang trại muốn tỉ lệ gà trống và gà mái khi sản xuất giống là 1 : 10,5. Đàn trưởng thành đang có 3 000 con, tỉ lệ gà trống và gà mái hiện tại là 5 : 3, nghĩa là trống đang nhiều hơn mái. Hỏi cần chuyển bao nhiêu gà trống sang nuôi lấy thịt để phần còn lại đạt tỉ lệ hiệu quả.
Gọi x là số gà trống ban đầu, y là số gà mái, z là số gà trống chuyển đi. Câu chữ buộc cách đọc tỉ lệ: số đứng trước là gà trống, số đứng sau là gà mái. Một số lời giải đảo thành 5x = 3y hoặc viết số trống còn lại bằng 10,5 lần số mái; hai cách ấy làm hệ vô nghiệm và bị ghi là “sai đề”. Với cách đọc thẳng theo câu chữ, hệ có nghiệm thực duy nhất như phần trả lời nhanh. Số gà phải nguyên nên bước cuối là chọn số nguyên gần nghiệm ấy nhất.
Điều kiện và ba phương trình
Số con gà là số tự nhiên, z không vượt quá số trống đang có, và sau khi chuyển vẫn còn mái:
x, y, z ∈ ℕ, y ≥ 1, 0 ≤ z ≤ x, x + y = 3 000.
Ba ràng buộc bậc nhất:
- Tổng đàn: x + y = 3 000.
- Tỉ lệ ban đầu trống : mái = 5 : 3, tức x/y = 5/3, hay 3x − 5y = 0.
- Sau khi chuyển, (x − z) : y = 1 : 10,5. Một trống còn lại ứng với 10,5 mái, nên y = 10,5(x − z), tức 10,5x − y − 10,5z = 0.
Hệ cần giải là
x + y = 3 000
3x − 5y = 0
10,5x − y − 10,5z = 0
Ý nghĩa từng dòng: dòng một đếm cả đàn, dòng hai mô tả đàn đang lệch về phía trống, dòng ba ép phần trống còn ở lại đúng “suất” phối giống. z chỉ xuất hiện ở dòng ba, nên giải x, y trước rồi mới tính z.
Giải hệ và chọn số gà nguyên
Từ 3x = 5y suy ra x = 5y/3. Thế vào tổng:
5y/3 + y = 3 000
8y/3 = 3 000
8y = 9 000
y = 1 125
x = 5 · 1 125 / 3 = 1 875
Kiểm tra tỉ lệ: 1 875 : 1 125 = 1875÷375 : 1125÷375 = 5 : 3. Tổng 1 875 + 1 125 = 3 000. Đúng hai phương trình đầu.
Phương trình thứ ba: 1 125 = 10,5(1 875 − z), nên
1 875 − z = 1 125 / 10,5 = 1 125 / (21/2) = 2 250 / 21 = 750/7 ≈ 107,142857
z = 1 875 − 750/7 = (13 125 − 750)/7 = 12 375/7 = 1 767 + 6/7 ≈ 1 767,857
z không nguyên. Trên tập số tự nhiên, so hai phương án kề:
| z | Trống còn lại | Tỉ lệ trống : mái | Một trống ứng với bao nhiêu mái |
|---|---|---|---|
| 1 767 | 108 | 108 : 1 125 | 1 125 : 108 ≈ 10,42 (lệch 0,08 so với 10,5) |
| 1 768 | 107 | 107 : 1 125 | 1 125 : 107 ≈ 10,51 (lệch 0,01 so với 10,5) |
1 : 10,5 nghĩa là một trống ứng với đúng 10,5 mái. Với 107 trống, mỗi trống ứng với khoảng 10,51 mái, chỉ lệch 0,01. Với 108 trống, mỗi trống ứng với khoảng 10,42 mái, lệch 0,08. So bằng tỉ số trống/mái cũng cùng kết luận: 107/1 125 ≈ 0,09511 gần 1/10,5 ≈ 0,09524 hơn là 108/1 125 = 0,096. Vậy chuyển 1 768 gà trống, giữ 107 gà trống cùng toàn bộ 1 125 gà mái. Nghiệm đúng của hệ số thực vẫn là z = 12 375/7; 1 768 là số gà nguyên sát nghiệm ấy nhất.
Thử lại dòng ba theo nghiệm thực: số trống còn lại 750/7, chia cho 1 125 mái được (750/7)/1 125 = 750/(7 · 1 125) = 2/21 = 1/10,5. Khớp tuyệt đối.
Đọc sai tỉ lệ thì hệ gãy ở chỗ nào?
Nếu viết nhầm “5 : 3” thành 5x = 3y, đàn sẽ có 1 125 trống và 1 875 mái, tức mái nhiều hơn trống. Câu chuyện “trống quá nhiều nên phải chuyển bớt trống đi” không còn đứng. Nếu lại viết số trống còn lại bằng 10,5 lần số mái, vế trái khoảng một nghìn con còn vế phải hơn một vạn con, z bị âm. Hệ khi ấy vô nghiệm, nhưng vô nghiệm đến từ phép đảo tỉ lệ, không đến từ đề.
Dấu hiệu đọc đúng: sau khi chuyển, số trống phải ít hơn số mái rất nhiều (khoảng 1 phần 10,5). Trước khi chuyển, 5 : 3 nghĩa là trống đông hơn. Hai dữ kiện cùng chiều với việc z dương và khá lớn, đúng như 1 768 con.
Cách trình bày và một bài cùng dạng
Bài làm nên có đủ ba ý sách hỏi: điều kiện của x, y, z; ba phương trình; rồi lời giải kèm câu trả lời cho trang trại. Khi z không nguyên, em ghi cả phân số 12 375/7 lẫn số gà làm tròn 1 768, và nói rõ 1 768 là số nguyên làm tỉ lệ gần 1 : 10,5 nhất. Không ghi “sai đề” nếu hệ mình lập ra vô nghiệm: hãy kiểm tra lại chiều của mỗi dấu hai chấm.
Bài luyện. Đàn 1 800 con, tỉ lệ trống : mái đang là 1 : 1. Muốn đưa về 1 : 5 bằng cách chuyển bớt gà trống sang nuôi thịt. Hỏi chuyển bao nhiêu con?
Đáp án: x = y = 900. Sau khi chuyển, (900 − z) : 900 = 1 : 5 nên 900 − z = 180, z = 720. Lần này z nguyên, không phải làm tròn. Giữ 180 trống và 900 mái, đúng 1 : 5.
Câu hỏi thường gặp
Tỉ lệ gà trống và gà mái hiệu quả để sản xuất giống là bao nhiêu?
Theo bài toán, tỉ lệ hiệu quả là 1 : 10,5, nghĩa là một gà trống cho 10,5 gà mái.
Đàn 3000 con với tỉ lệ 5 : 3 thì có bao nhiêu gà trống, bao nhiêu gà mái?
Có 1875 gà trống và 1125 gà mái, vì 1875 : 1125 = 5 : 3 và tổng bằng 3000.
Cần chuyển bao nhiêu gà trống sang nuôi thịt?
Nghiệm thực là 12375/7, khoảng 1767,86 con. Số nguyên làm tỉ lệ gần 1 : 10,5 nhất là 1768 con, giữ lại 107 gà trống.
Vì sao có lời giải bảo bài toán sai đề?
Các lời giải đó đảo tỉ lệ 5 : 3 thành 5x = 3y hoặc viết số trống còn lại bằng 10,5 lần số mái, nên hệ bị vô nghiệm. Đọc đúng chiều tỉ lệ thì hệ có nghiệm.