Tìm m để B là tập con của A: A = [1; 3], B = [m; m + 1]

Trả lời nhanh

Đáp án đúng là C. 1 ≤ m ≤ 2. Đoạn B = [m; m + 1] nằm trong đoạn A = [1; 3] khi và chỉ khi đầu mút trái của B không nhỏ hơn 1 và đầu mút phải của B không lớn hơn 3, tức m ≥ 1 và m + 1 ≤ 3. Giải ra được 1 ≤ m ≤ 2.

Đề bài trắc nghiệm

Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m + 1]. Tìm m để B là tập con của A.

A. m = 1
B. 1 < m < 2
C. 1 ≤ m ≤ 2
D. m = 2

Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em.

Lời giải chi tiết: tìm m để B là tập con của A

Trước hết, B = [m; m + 1] luôn là một đoạn thật sự (khác rỗng) với mọi số thực m, vì m < m + 1. Đoạn này luôn có độ dài đúng bằng 1, còn A = [1; 3] có độ dài 2. Do đó B “vừa” nằm lọt trong A, và câu hỏi chỉ là B được phép đặt ở những vị trí nào.

B ⊂ A nghĩa là mọi phần tử của B đều thuộc A. Với hai đoạn, điều này tương đương với việc cả hai đầu mút của B đều thuộc A:

Đầu mút trái: m ≥ 1.
Đầu mút phải: m + 1 ≤ 3, suy ra m ≤ 2.

Kết hợp hai điều kiện ta được 1 ≤ m ≤ 2, hay m ∈ [1; 2]. Vậy chọn C.

Trục số biểu diễn đoạn A = [1; 3] màu xanh và hai vị trí biên của đoạn B = [m; m + 1] màu đỏ khi m = 1 và m = 2 — Hình 1. Đoạn B dài 1 trượt bên trong đoạn A từ vị trí [1; 2] đến vị trí [2; 3], ứng với 1 ≤ m ≤ 2.

Kiểm tra hai giá trị biên: với m = 1 thì B = [1; 2] ⊂ [1; 3]; với m = 2 thì B = [2; 3] ⊂ [1; 3]. Cả hai trường hợp đều thỏa mãn, nên dấu “=” được giữ lại. Thử một giá trị ngoài khoảng, chẳng hạn m = 2,5: B = [2,5; 3,5] chứa số 3,4 không thuộc A, nên B không là tập con của A.

Vì sao các phương án còn lại sai?

A. m = 1 và D. m = 2: mỗi phương án chỉ là một giá trị đúng. Chúng là hai đầu mút của tập đáp án, nhưng bỏ sót mọi giá trị ở giữa như m = 1,5 (khi đó B = [1,5; 2,5] ⊂ A).
B. 1 < m < 2: dùng bất đẳng thức chặt nên làm mất hai giá trị m = 1 và m = 2. Lỗi này xảy ra khi học sinh không để ý A và B đều là đoạn (có chứa đầu mút), nên các đầu mút được phép trùng nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Với các tập con của tập số thực, em chỉ cần so sánh các đầu mút, nhưng phải chú ý loại ngoặc:

Tình huống	Điều kiện để B ⊂ A
A = [a; b], B = [c; d] (hai đoạn)	a ≤ c và d ≤ b (B khác rỗng khi c ≤ d)
A = (a; b), B = [c; d]	a < c và d < b, vì đầu mút của B thuộc B nhưng không thuộc A
A = [a; b], B = (c; d)	a ≤ c và d ≤ b
A = (a; +∞), B = [c; d]	c > a

Quy tắc nhanh: nếu đầu mút của B thuộc B mà không thuộc A thì phải dùng dấu bất đẳng thức chặt; các trường hợp còn lại dùng dấu “≤”. Ngoài ra, khi B có tham số ở cả hai đầu như [m; 2m − 1], em phải xét riêng trường hợp B rỗng (khi m > 2m − 1), vì tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Sai lầm thường gặp

Viết điều kiện ngược chiều, chẳng hạn m ≤ 1 và m + 1 ≥ 3. Đó là điều kiện để A ⊂ B chứ không phải B ⊂ A.
Quên điều kiện ở một đầu mút, chỉ giải m + 1 ≤ 3 rồi kết luận m ≤ 2.
Bỏ dấu “=” dù cả A và B đều là đoạn.
Không kiểm tra B có thể rỗng hay không khi độ dài của B phụ thuộc vào m.

Bài tập tương tự có đáp án

Cho A = [0; 5] và B = [m; m + 2]. Tìm m để B ⊂ A. Đáp án: m ≥ 0 và m + 2 ≤ 5, nên 0 ≤ m ≤ 3.
Cho A = (−1; 4) và B = [m; m + 3]. Tìm m để B ⊂ A. Đáp án: m > −1 và m + 3 < 4, nên −1 < m < 1.
Với A = [1; 3] và B = [m; m + 1], tìm m để A ∩ B ≠ ∅. Đáp án: cần m ≤ 3 và m + 1 ≥ 1, nên 0 ≤ m ≤ 3.
Với A = [1; 3] và B = [m; m + 1], có giá trị nào của m để A ⊂ B không? Đáp án: không, vì A dài 2 còn B chỉ dài 1. Về điều kiện: m ≤ 1 và m + 1 ≥ 3 cho m ≤ 1 và m ≥ 2, vô nghiệm.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao lấy cả m = 1 và m = 2?

A và B đều là đoạn nên chứa cả đầu mút. Khi m = 1 thì B = [1; 2], khi m = 2 thì B = [2; 3], cả hai đều nằm trong [1; 3].

Điều kiện để đoạn [c; d] là tập con của đoạn [a; b] là gì?

Cần a ≤ c và d ≤ b, với giả thiết c ≤ d để [c; d] khác rỗng.

Tập B = [m; m + 1] có thể là tập rỗng không?

Không. Vì m < m + 1 với mọi số thực m nên B luôn là một đoạn có độ dài 1.

Nếu A là khoảng (1; 3) thì đáp án thay đổi thế nào?

Khi đó cần m > 1 và m + 1 < 3, nên 1 < m < 2. Dấu bằng bị loại vì 1 và 3 không thuộc A.