Trả lời nhanh
Khi 90° < α < 180° thì α là góc tù, điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác, nên: sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0, cot α < 0. Kết luận đúng phải khớp bốn dấu này. Ví dụ α = 120° có sin = √3/2 > 0, cos = −1/2 < 0, tan = −√3 < 0, cot = −√3/3 < 0.
Giải thích bằng đường tròn lượng giác
Với góc α từ 0° đến 180°, ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc giữa tia OM và trục Ox bằng α. Khi đó cos α là hoành độ của M và sin α là tung độ của M.
- Khi 90° < α < 180°, điểm M nằm bên trái trục tung (hoành độ âm) và phía trên trục hoành (tung độ dương).
- Vì vậy cos α < 0 và sin α > 0.
Suy ra dấu của tan và cot
Dùng công thức tan α = sin α / cos α và cot α = cos α / sin α:
- tan α = (số dương) / (số âm) < 0.
- cot α = (số âm) / (số dương) < 0.
| Khoảng của α | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 0° < α < 90° (góc nhọn) | + | + | + | + |
| 90° < α < 180° (góc tù) | + | − | − | − |
Cách chọn đáp án nhanh khi gặp câu trắc nghiệm
- Nhìn khoảng của α: 90° < α < 180° là góc tù.
- Nhớ câu: “góc tù chỉ sin dương”. Các giá trị còn lại đều âm.
- Loại ngay phương án nào ghi sin α < 0, cos α > 0, tan α > 0 hoặc cot α > 0.
- Thử lại bằng một góc cụ thể như 120° hoặc 150° để chắc chắn.
Các cách phát biểu đúng trong khoảng này gồm: “sin α > 0”, “cos α < 0”, “tan α < 0”, “cot α < 0”, hoặc “cos α · tan α > 0”… (tích hai số âm). Ngược lại, các phát biểu như “sin α < 0” hay “tan α > 0” đều sai.
Kiểm tra bằng ví dụ α = 150°
- sin 150° = 1/2 > 0.
- cos 150° = −√3/2 < 0.
- tan 150° = −√3/3 < 0.
- cot 150° = −√3 < 0.
Cả hai ví dụ 120° và 150° đều khớp bảng dấu trên.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm góc tù với góc nhọn: góc nhọn thì mọi giá trị đều dương, còn góc tù thì chỉ sin dương.
- Quên trường hợp biên: α = 90° thì cos = 0 và tan không xác định; α = 180° thì sin = 0. Vì đề cho 90° < α < 180° nên không xét các điểm này.
- Nhớ nhầm mối liên hệ góc bù: sin(180° − α) = sin α nhưng cos(180° − α) = −cos α.
Bài tập luyện tập
- Cho 90° < α < 180°. Dấu của sin α · cos α là gì? Đáp án: âm, vì (+)(−) < 0.
- Cho sin α = 3/5 với 90° < α < 180°. Tính cos α. Đáp án: cos α = −4/5 (cos âm).
- Cho tan α = −2 với 90° < α < 180°. Dấu của cot α? Đáp án: cot α = −1/2 < 0.
Câu hỏi thường gặp
Cho 90° < α < 180°, sin α và cos α có dấu gì?
sin α dương và cos α âm, vì điểm biểu diễn nằm phía trên trục hoành và bên trái trục tung.
Khi 90° < α < 180°, tan α và cot α có dấu gì?
Cả hai đều âm vì là thương của một số dương và một số âm.
Vì sao đề phải loại α = 90° và α = 180°?
Tại 90° thì cos bằng 0 và tan không xác định; tại 180° thì sin bằng 0 và cot không xác định.
Có mẹo nào nhớ dấu nhanh không?
Với góc tù chỉ sin dương, còn cos, tan, cot đều âm; với góc nhọn cả bốn đều dương.