Trả lời nhanh
Với D = 12/(1 + tan²73°) − 4tan75°·cot105° + 12sin²107°, ta dùng 1 + tan²α = 1/cos²α nên 12/(1 + tan²73°) = 12cos²73°; sin107° = sin73° vì hai góc bù nhau; và tan75°·cot105° = −1 vì cot105° = −cot75°. Khi đó D = 12(cos²73° + sin²73°) + 4 = 12 + 4 = 16.
Đề bài và hướng suy nghĩ
Đề thuộc dạng “tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng máy tính” ở Toán 10 (giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180°). Khi đề được chép lại, các dấu phép tính và dấu mũ thường bị mất, nên bài viết này hiểu biểu thức là D = 12/(1 + tan²73°) − 4tan75°·cot105° + 12sin²107°. Nếu đề của em có dấu khác, cách làm vẫn là bốn công cụ ở dưới, chỉ thay dấu ở bước cuối.
Quan sát các số đo: 73° và 107° cộng lại bằng 180°; 75° và 105° cũng cộng lại bằng 180°. Đây là dấu hiệu của hai góc bù nhau, nên ta chuyển mọi giá trị về góc nhọn.
Bốn công cụ cần dùng
- Góc bù: sin(180° − α) = sin α; cos(180° − α) = −cos α; tan(180° − α) = −tan α; cot(180° − α) = −cot α.
- Hệ thức: 1 + tan²α = 1/cos²α (với cos α ≠ 0).
- Tích tan và cot: tan α · cot α = 1.
- Hệ thức cơ bản: sin²α + cos²α = 1.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Biến đổi số hạng đầu
Vì 1 + tan²73° = 1/cos²73° nên 12/(1 + tan²73°) = 12cos²73°.
Bước 2. Biến đổi số hạng thứ ba
Hai góc 107° và 73° bù nhau nên sin107° = sin73°, suy ra 12sin²107° = 12sin²73°.
Bước 3. Biến đổi số hạng thứ hai
Ta có cot105° = cot(180° − 75°) = −cot75°. Do đó tan75°·cot105° = −tan75°·cot75° = −1, suy ra −4tan75°·cot105° = −4·(−1) = 4.
Bước 4. Gộp lại
D = 12cos²73° + 4 + 12sin²73° = 12(cos²73° + sin²73°) + 4 = 12·1 + 4 = 16.
Kiểm tra bằng máy tính
Bấm máy tính ở chế độ độ, giá trị 12/(1 + tan²73°) ≈ 1,0258; 12sin²107° ≈ 10,9742; tổng hai số hạng này là 12. Còn tan75° ≈ 3,7321 và cot105° ≈ −0,2679 nên tích xấp xỉ −1. Kết quả D = 16 khớp với lời giải.
Lỗi sai thường gặp
- Quên dấu của cot góc tù: cot105° âm, không phải dương. Nếu em coi tan75°·cot105° = 1 thì kết quả sai thành 8.
- Nhầm sin107° = −sin73°: sin của hai góc bù thì bằng nhau, chỉ cos và tan, cot mới đổi dấu.
- Áp dụng sai hệ thức: 1 + tan²α bằng 1/cos²α chứ không bằng 1/sin²α (đó là hệ thức của cot).
- Không nhận ra cặp góc bù nên bấm máy lẻ từng số, dễ sai số làm tròn.
Mẹo nhớ
Gặp biểu thức có hai góc cộng lại bằng 180°, hãy nghĩ ngay đến góc bù. Gặp 1 + tan² hoặc 1 + cot² thì nghĩ đến nghịch đảo bình phương cos hoặc sin.
Bài tập tương tự có đáp án
- Tính E = 5/(1 + tan²20°) + 5sin²160° − 3tan50°·cot130°. Đáp án: 5cos²20° + 5sin²20° + 3 = 8.
- Tính F = sin²38° + sin²52° + tan10°·tan80°. Đáp án: sin52° = cos38° nên tổng hai số hạng đầu bằng 1; tan10°·tan80° = 1; F = 2.
- Tính G = cos100° + cos80°. Đáp án: cos100° = −cos80° nên G = 0.
Câu hỏi thường gặp
Giá trị của D = 12/(1 + tan²73°) − 4tan75°·cot105° + 12sin²107° là bao nhiêu?
D = 16. Hai số hạng chứa góc 73° và 107° cộng lại bằng 12, còn số hạng chứa tan75° và cot105° bằng 4.
Vì sao tan75°·cot105° bằng −1?
Vì cot105° = −cot75° (hai góc bù nhau) và tan75°·cot75° = 1, nên tích bằng −1.
1 + tan²α bằng gì?
Bằng 1/cos²α khi cos α khác 0. Hệ thức này giúp đổi 12/(1 + tan²73°) thành 12cos²73°.
Hai góc bù nhau có sin, cos quan hệ thế nào?
Sin của hai góc bù bằng nhau, còn cos, tan, cot của chúng đối nhau.