Tìm m để A ∪ B = R với A = (−∞; m−1], B = (3; +∞)

Trả lời nhanh

Với A = (−∞; m−1] và B = (3; +∞), điều kiện để A ∪ B = ℝ là m − 1 ≥ 3, tức là m ≥ 4. Lí do: B đã chứa mọi số lớn hơn 3, nên A phải chứa tất cả các số nhỏ hơn hoặc bằng 3, đặc biệt là chính số 3. Khi m = 4 thì A = (−∞; 3] ghép khít với B.

Hiểu đề bài: hợp bằng ℝ nghĩa là gì?

Tập hợp A ∪ B gồm các số thuộc A hoặc thuộc B. Nói A ∪ B = ℝ nghĩa là mọi số thực đều phải rơi vào ít nhất một trong hai tập, không được sót bất kì số nào trên trục số.

Ở bài này B là một tia mở về phía bên phải bắt đầu từ 3, còn A là một tia kéo về phía bên trái và điểm cuối phụ thuộc vào tham số m. Việc cần làm là xem A phải kéo đến đâu thì hai tia ghép lại thành cả đường thẳng.

Lời giải chi tiết

Phần đã được B phủ: mọi số t > 3 đều thuộc B, nên không cần quan tâm đến A ở phần này.
Phần còn lại cần A phủ: các số t ≤ 3 không thuộc B, do đó chúng bắt buộc phải thuộc A. Nghĩa là (−∞; 3] ⊂ A.
Chuyển thành điều kiện của m: A = (−∞; m−1] chứa (−∞; 3] khi và chỉ khi m − 1 ≥ 3 (đầu mút phải của A không được nằm bên trái số 3).
Kết luận: m ≥ 4, hay m ∈ [4; +∞).

Trục số minh hoạ tìm m để A hợp B bằng R với A = (−∞; m−1] và B = (3; +∞) — Hình 1. Khi m − 1 ≥ 3 hai tia ghép kín trục số; khi m − 1 < 3 xuất hiện khoảng hở.

Kiểm tra bằng số. Với m = 4 thì A = (−∞; 3], hợp với (3; +∞) cho ℝ. Với m = 3 thì A = (−∞; 2], số 2,5 không thuộc A cũng không thuộc B nên hợp chưa phải ℝ. Vậy kết quả m ≥ 4 là hợp lí.

Nếu đề dùng ngoặc khác thì sao?

Trong các đề cùng dạng, chỉ cần đổi một dấu ngoặc là đáp số có thể đổi. Bảng dưới đây giúp em xét nhanh, với B có đầu mút trái là 3:

A	B	Điều kiện	Đáp số
(−∞; m−1]	(3; +∞)	m − 1 ≥ 3	m ≥ 4
(−∞; m−1]	[3; +∞)	m − 1 ≥ 3	m ≥ 4
(−∞; m−1)	[3; +∞)	m − 1 ≥ 3	m ≥ 4
(−∞; m−1)	(3; +∞)	m − 1 > 3 (cần chứa số 3)	m > 4

Quy tắc nhớ: chỉ khi cả hai đầu mút tại điểm nối đều mở thì số ở điểm nối bị bỏ sót, và khi đó phải loại trường hợp bằng nhau.

Mẹo làm nhanh

Luôn vẽ trục số nháp, đánh dấu số 3 và đoán vị trí m − 1 rồi mới viết điều kiện.
Bài “hợp bằng ℝ” thì hai tập phải chạm hoặc gối lên nhau; bài “giao bằng rỗng” thì hai tập phải rời nhau.
Cuối bài thay thử một giá trị biên (như m = 4) và một giá trị sát biên (như m = 3) để kiểm tra.

Lỗi sai thường gặp

Viết ngược dấu: ghi m − 1 ≤ 3 vì nghĩ “A nhỏ hơn B”. Thực tế A càng kéo sang phải càng tốt nên cần m − 1 lớn.
Quên xét đầu mút: kết luận m > 4 cho trường hợp A đóng. Với A = (−∞; m−1] thì m = 4 vẫn thoả.
Nhầm hợp với giao: giải theo điều kiện A ∩ B ≠ ∅ thay vì A ∪ B = ℝ.

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1. Cho A = (−∞; 2m], B = (5; +∞). Tìm m để A ∪ B = ℝ.

Đáp án: cần 2m ≥ 5 nên m ≥ 5/2.

Bài 2. Cho A = (−∞; m+2), B = [1; +∞). Tìm m để A ∪ B = ℝ.

Đáp án: số 1 đã thuộc B, chỉ cần A chứa (−∞; 1), tức m + 2 ≥ 1, suy ra m ≥ −1.

Bài 3. Cho A = (−∞; m−1], B = (3; +∞). Tìm m để A ∩ B = ∅.

Đáp án: hai tập rời nhau khi m − 1 ≤ 3, tức m ≤ 4. Em để ý: đáp số này và đáp số m ≥ 4 của đề chính cùng chia tại m = 4.

Bài 4. Cho A = [m; +∞), B = (−∞; 2). Tìm m để A ∪ B = ℝ.

Đáp án: B đã phủ mọi số nhỏ hơn 2, nên A phải chứa số 2 trở lên, tức m ≤ 2.

Câu hỏi thường gặp

Đáp số bài toán tìm m để A ∪ B = ℝ là gì?

Với A = (−∞; m−1] và B = (3; +∞) thì đáp số là m ≥ 4. Khi m = 4, tập A là (−∞; 3] nên ghép khít với B.

Vì sao phải xét cả đầu mút mở và đóng?

Vì số nằm đúng ở điểm nối hai tập có thể bị bỏ sót. Nếu cả hai tập đều mở tại điểm đó thì số ấy không thuộc hợp, nên phải loại trường hợp bằng nhau.

Làm sao nhớ nhanh điều kiện cho bài hợp bằng ℝ?

Hãy vẽ trục số, hai tập phải chạm hoặc gối lên nhau. Điểm cuối của tập bên trái phải lớn hơn hoặc bằng điểm đầu của tập bên phải, rồi xét thêm đầu mút.