Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vận tốc v theo t

Trả lời nhanh

Với đồ thị v–t của dao động điều hòa, ta đọc ba đại lượng: vận tốc cực đại v_max, chu kì T và trạng thái tại t = 0. Khi đó ω = 2π/T, A = v_max/ω, còn pha ban đầu của li độ φ_x = φ_v − π/2 (vận tốc sớm pha π/2 so với li độ). Phương trình: x = A cos(ωt + φ_x).

Đề bài dạng “Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc v theo thời gian t của một vật dao động điều hòa. Phương trình dao động của vật là…” luôn đi kèm một hình vẽ cụ thể với các số liệu riêng. Vì không có hình trong tay, bài viết này trình bày phương pháp chung và giải hai ví dụ do thầy tự đặt. Em chỉ cần thay số liệu trên hình của đề vào là ra đáp án.

1. Nhắc lại quan hệ giữa x, v và a

Nếu x = A cos(ωt + φ) thì:

v = x′ = −ωA sin(ωt + φ) = ωA cos(ωt + φ + π/2)
a = −ω²x = ω²A cos(ωt + φ + π)

Như vậy v là một hàm cos có biên độ v_max = ωA và pha ban đầu φ_v = φ + π/2. Từ đó suy ra φ = φ_v − π/2.

2. Các bước đọc đồ thị v–t

Tìm v_max: giá trị lớn nhất (đỉnh) của đồ thị trên trục tung.
Tìm chu kì T: khoảng thời gian giữa hai đỉnh liên tiếp (hoặc hai lần đồ thị lặp lại cùng trạng thái). Nếu đề chỉ cho một phần chu kì, dùng tỉ lệ thời gian: ví dụ từ vị trí v = 0 đến v = v_max gần nhất mất T/4.
Tính ω và A: ω = 2π/T; A = v_max/ω.
Tìm φ_v tại t = 0: đọc v(0), xem đồ thị đang đi lên hay đi xuống, rồi giải cos φ_v = v(0)/v_max.
Suy ra φ_x = φ_v − π/2 (đưa về khoảng (−π; π]) và viết phương trình.

3. Ví dụ 1 (số liệu tự đặt)

Giả sử đồ thị v–t có v_max = 20π cm/s, chu kì T = 2 s; tại t = 0 vận tốc bằng 10π cm/s và đang tăng (xem hình).

Đồ thị vận tốc theo thời gian dạng hình sin, v max bằng 20pi cm/s, chu kì 2 s, tại t = 0 v bằng 10pi và đang tăng — Đồ thị v–t của ví dụ 1: v(0) = 10π cm/s đang tăng, v_max = 20π cm/s, T = 2 s.

Giải:

ω = 2π/T = π rad/s; A = 20π/π = 20 cm.
Tại t = 0: cos φ_v = 10π/20π = 1/2 nên φ_v = ±π/3. Vận tốc đang tăng nghĩa là đồ thị đi lên, tức đang tiến về đỉnh, nên pha của v đang nằm trong khoảng (−π; 0): φ_v = −π/3.
φ_x = −π/3 − π/2 = −5π/6.

Kết quả: x = 20 cos(πt − 5π/6) cm.

Kiểm tra: tại t = 0, x = 20cos(−5π/6) = −10√3 cm (x âm) nên a = −ω²x > 0, phù hợp với v đang tăng. Lại có v(0) = −ωA sin(−5π/6) = 20π·(1/2) = 10π cm/s. Đúng.

4. Ví dụ 2 (số liệu tự đặt)

Đồ thị v–t có v_max = 40 cm/s, hai đỉnh liên tiếp cách nhau 0,5 s, và đồ thị đạt cực đại đúng tại t = 0.

T = 0,5 s nên ω = 2π/0,5 = 4π rad/s; A = 40/(4π) = 10/π ≈ 3,18 cm.
v cực đại tại t = 0 nên φ_v = 0, suy ra φ_x = −π/2.

Kết quả: x = (10/π) cos(4πt − π/2) cm. Ý nghĩa: lúc đầu vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương (vì v cực đại dương).

5. Mẹo nhớ nhanh

v cực đại (dương hoặc âm) ⇔ vật ở vị trí cân bằng; v = 0 ⇔ vật ở biên.
Đồ thị v đi qua 0 theo chiều đi xuống thì vật vừa tới biên dương (x = +A). Đi qua 0 theo chiều đi lên thì vật ở biên âm (x = −A).
Đồ thị v là “x dịch sang trái T/4”. Nếu em đã quen với đồ thị x–t, hãy dịch đồ thị sang trái một phần tư chu kì.

6. Lỗi sai thường gặp

Quên đổi pha: viết luôn φ_x = φ_v thay vì φ_v − π/2.
Lấy A bằng v_max mà không chia cho ω.
Chỉ xét cos φ_v = v(0)/v_max mà quên xét chiều biến thiên nên chọn nhầm dấu của φ_v.
Đọc nhầm chu kì: nếu đề cho thời gian giữa hai lần v = 0 liên tiếp thì đó là T/2, không phải T.

7. Bài luyện tập

Bài 1. Đồ thị v–t có v_max = 8π cm/s, T = 1 s, tại t = 0 v = 0 và đồ thị đang đi xuống. Viết phương trình x.

Đáp án: ω = 2π rad/s, A = 8π/2π = 4 cm. v = 0 và đang giảm nên φ_v = π/2, suy ra φ_x = 0. Vậy x = 4cos(2πt) cm (vật bắt đầu ở biên dương, đúng như kiểm tra).

Bài 2. Đồ thị v–t có v_max = 10π cm/s, T = 4 s, tại t = 0 v = −5π cm/s và đang giảm. Viết phương trình x.

Đáp án: ω = π/2 rad/s, A = 10π/(π/2) = 20 cm. cos φ_v = −1/2 nên φ_v = ±2π/3; đang giảm nên pha đang trong (0; π): φ_v = 2π/3. Suy ra φ_x = 2π/3 − π/2 = π/6. Vậy x = 20cos(πt/2 + π/6) cm.

Nếu em gửi kèm số liệu trên hình của đề (v_max, mốc thời gian, trạng thái tại t = 0), em chỉ cần làm đúng năm bước ở trên là chọn được phương án chính xác.

Câu hỏi thường gặp

Từ đồ thị v–t, làm sao tìm biên độ dao động A?

Đọc giá trị cực đại v_max của đồ thị rồi tính A = v_max/ω, với ω = 2π/T và T đọc từ đồ thị.

Vì sao pha ban đầu của x bằng pha ban đầu của v trừ π/2?

Vì v = ωA cos(ωt + φ + π/2), tức vận tốc sớm pha π/2 so với li độ nên φ_x = φ_v − π/2.

Đồ thị v cực đại tại t = 0 thì vật ở đâu?

Vật đang ở vị trí cân bằng và chuyển động theo chiều dương, ứng với φ_v = 0 và φ_x = −π/2.

Đồ thị v–t khác đồ thị x–t như thế nào?

Cùng dạng hình sin, cùng chu kì, nhưng đồ thị v sớm pha π/2 so với đồ thị x, tức dịch sang trái T/4.