Trả lời nhanh
Vì tam giác OAB vuông cân tại O nên hai vectơ OA và OB vuông góc, cùng độ dài a. Do đó với mọi số m, n: |m·OA + n·OB| = a·√(m² + n²). Chẳng hạn |OA + OB| = |OA − OB| = a√2, còn |2OA + OB| = a√5. Hãy thay hệ số của đề vào công thức này.
Đề bài đầy đủ thường có dạng “Cho tam giác OAB vuông cân tại O, với OA = OB = a. Độ dài của vectơ … là”. Phần vectơ cần tính ở cuối câu có thể là tổng, hiệu hoặc tổ hợp có hệ số. Bài viết này giải theo phương pháp chung để bạn áp dụng cho mọi trường hợp. Các số liệu trong ví dụ là ví dụ tự đặt.
Điều kiện then chốt: OA ⊥ OB
Tam giác vuông cân tại O nghĩa là góc AOB = 90° và OA = OB = a. Hai vectơ OA, OB có chung gốc O, vuông góc nhau và cùng độ dài a. Mọi cách tính sau đây đều dựa vào hai điều này.
Cách 1: Dựng hình vuông (quy tắc hình bình hành)
Dựng điểm C sao cho OACB là hình vuông cạnh a. Khi đó:
- OA + OB = OC (quy tắc hình bình hành), nên |OA + OB| = OC = đường chéo hình vuông = a√2.
- OA − OB = BA (quy tắc hiệu), nên |OA − OB| = AB = a√2 (cạnh huyền tam giác vuông cân).
Cách 2: Dùng tích vô hướng (tổng quát)
Vì OA ⊥ OB nên OA·OB = 0, và OA² = OB² = a². Với vectơ v = m·OA + n·OB:
|v|² = m²·OA² + 2mn·OA·OB + n²·OB² = m²a² + 0 + n²a² = a²(m² + n²).
Suy ra |v| = a·√(m² + n²). Chú ý cả m, n có thể âm, vì chỉ có bình phương xuất hiện nên dấu không ảnh hưởng.
Bảng kết quả thường gặp
| Vectơ | m, n | Độ dài |
|---|---|---|
| OA + OB | 1, 1 | a√2 |
| OA − OB | 1, −1 | a√2 |
| 2OA + OB | 2, 1 | a√5 |
| OA − 2OB | 1, −2 | a√5 |
| 3OA − 4OB | 3, −4 | 5a |
| OA + 3OB | 1, 3 | a√10 |
Ví dụ có lời giải
Ví dụ. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, OA = OB = 4 cm. Tính |2OA + 3OB|.
Lời giải: m = 2, n = 3 nên |v| = 4·√(4 + 9) = 4√13 cm.
Kiểm tra bằng hình: đặt O là gốc toạ độ, A(4; 0), B(0; 4). Khi đó 2OA + 3OB = (8; 12), độ dài = √(64 + 144) = √208 = 4√13. Kết quả khớp.
Lỗi sai thường gặp
- Cộng thẳng độ dài: viết |OA + OB| = a + a = 2a. Sai, vì hai vectơ không cùng hướng; phải dùng đường chéo hình vuông.
- Nhầm |OA − OB| bằng 0 vì OA = OB. Chỉ hai độ dài bằng nhau, hai vectơ khác hướng nên không bằng nhau.
- Quên bình phương hệ số: |2OA| = 2a chứ không phải 4a; nhưng trong căn là m² = 4.
- Dùng cạnh huyền AB = a√2 cho mọi vectơ mà không kiểm tra hệ số.
Mẹo nhớ: đặt hai vectơ làm hai trục toạ độ vuông góc, độ dài tổ hợp chính là độ dài vectơ (ma; na).
Bài luyện tập
- Cho tam giác OAB vuông cân tại O, OA = OB = a. Tính |3OA + OB|.
Đáp án: a√(9 + 1) = a√10. - Với giả thiết trên, tính |2OA − 2OB|.
Đáp án: a√(4 + 4) = 2a√2. - Với OA = OB = 3, tính |OA + 2OB|.
Đáp án: 3√5.
Câu hỏi thường gặp
Tam giác OAB vuông cân tại O thì OA và OB có quan hệ gì?
Hai vectơ OA và OB vuông góc với nhau và có cùng độ dài a, nên tích vô hướng OA·OB = 0.
Độ dài vectơ OA + OB bằng bao nhiêu?
Bằng a√2, là độ dài đường chéo OC của hình vuông OACB cạnh a.
Độ dài OA − OB có khác OA + OB không?
Không. Vectơ OA − OB = BA có độ dài AB = a√2, bằng độ dài OA + OB; nhưng hai vectơ này khác nhau về hướng.
Có công thức chung cho |m·OA + n·OB| không?
Có: |m·OA + n·OB| = a·√(m² + n²), vì OA vuông góc OB và OA = OB = a.