Trả lời nhanh
Với f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), f(x) ≤ 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi a < 0 và Δ ≤ 0, trong đó Δ = b² − 4ac. Lý do: parabol phải mở xuống dưới (a < 0) và không được cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt (Δ ≤ 0), nên toàn bộ đồ thị nằm dưới hoặc chạm trục Ox.
Vì sao điều kiện là a < 0 và Δ ≤ 0?
Ta biến đổi tam thức về dạng bình phương:
f(x) = a·[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)]
Với mọi x, (x + b/(2a))² ≥ 0 và có thể nhận giá trị lớn tuỳ ý. Từ đó:
- Nếu a > 0: khi x rất lớn, f(x) nhận giá trị dương rất lớn, nên không thể có f(x) ≤ 0 với mọi x. Vậy bắt buộc a < 0.
- Nếu a < 0 và Δ > 0: f có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂ và f(x) > 0 với x nằm giữa hai nghiệm, nên không thoả mãn.
- Nếu a < 0 và Δ = 0: f(x) = a(x − x₀)² ≤ 0 với mọi x, dấu “=” xảy ra tại x₀. Thoả mãn.
- Nếu a < 0 và Δ < 0: f(x) < 0 với mọi x. Thoả mãn.
Gộp hai trường hợp cuối ta được a < 0 và Δ ≤ 0.
Bảng 4 trường hợp dấu của tam thức trên toàn R
| Yêu cầu với mọi x thuộc R | Điều kiện |
|---|---|
| f(x) > 0 | a > 0 và Δ < 0 |
| f(x) ≥ 0 | a > 0 và Δ ≤ 0 |
| f(x) < 0 | a < 0 và Δ < 0 |
| f(x) ≤ 0 | a < 0 và Δ ≤ 0 |
Mẹo nhớ: dấu của a quyết định “mở lên hay mở xuống”, dấu của Δ quyết định “có cắt trục hay không”. Bất đẳng thức có dấu bằng (≥, ≤) thì Δ cũng có dấu bằng (Δ ≤ 0); bất đẳng thức nghiêm ngặt thì Δ < 0.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Chứng tỏ f(x) = −x² + 2x − 3 ≤ 0 với mọi x.
Ta có a = −1 < 0, Δ = 2² − 4·(−1)·(−3) = 4 − 12 = −8 < 0. Theo điều kiện trên, f(x) < 0 với mọi x, nên f(x) ≤ 0 đúng.
Ví dụ 2 (có tham số). Tìm m để −x² + 4x + m ≤ 0 với mọi x thuộc R.
- a = −1 < 0 (luôn đúng).
- Δ’ = 2² − (−1)·m = 4 + m. Cần Δ’ ≤ 0, tức m ≤ −4.
Vậy m ≤ −4. Kiểm tra nhanh: với m = −4, f(x) = −(x − 2)² ≤ 0 đúng.
Ví dụ 3 (hệ số a chứa tham số). Tìm m để mx² − 2mx − 3 ≤ 0 với mọi x thuộc R.
- Trường hợp m = 0: f(x) = −3 ≤ 0 luôn đúng, nhận m = 0.
- Trường hợp m ≠ 0: cần m < 0 và Δ’ = m² + 3m ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 0. Kết hợp m < 0 được −3 ≤ m < 0.
Hợp hai trường hợp: −3 ≤ m ≤ 0.
Lỗi sai thường gặp
- Quên xét a = 0 khi hệ số a chứa tham số. Lúc đó f chỉ còn bậc nhất hoặc hằng số, phải xét riêng (như Ví dụ 3).
- Bỏ dấu “=” của Δ (viết Δ < 0) khi đề cho “≤ 0”. Trường hợp Δ = 0 vẫn thoả mãn vì f chỉ bằng 0 tại một điểm.
- Nhầm chiều với f(x) ≥ 0: viết a > 0 thay vì a < 0.
- Dùng sai công thức Δ’ = (b/2)² − ac: chỉ dùng khi b chẵn, nhớ giữ nguyên dấu của b/2.
Bài luyện tập
- Chứng tỏ −2x² + 4x − 5 ≤ 0 với mọi x thuộc R.
- Tìm m để −x² + mx − 1 ≤ 0 với mọi x thuộc R.
- Tìm m để (m − 2)x² + 2x − 1 ≤ 0 với mọi x thuộc R.
Đáp án:
- a = −2 < 0; Δ’ = 2² − (−2)(−5) = 4 − 10 = −6 < 0 nên đúng.
- a = −1 < 0; Δ = m² − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2.
- Nếu m = 2: f(x) = 2x − 1 đổi dấu, không thoả mãn. Nếu m ≠ 2: cần m − 2 < 0 và Δ’ = 1 + (m − 2) = m − 1 ≤ 0, tức m < 2 và m ≤ 1. Vậy m ≤ 1.
Câu hỏi thường gặp
f(x) ≤ 0 với mọi x thuộc R khi nào?
Khi f(x) = ax² + bx + c với a ≠ 0 có a < 0 và Δ = b² − 4ac ≤ 0.
Khi Δ = 0 và a < 0 thì f(x) ≤ 0 có đúng không?
Đúng. Lúc này f(x) = a(x − x₀)² ≤ 0 với mọi x, dấu bằng chỉ xảy ra tại x₀ = −b/(2a).
Điều kiện để f(x) ≥ 0 với mọi x thuộc R là gì?
Là a > 0 và Δ ≤ 0, tức parabol mở lên và nằm trên hoặc tiếp xúc trục hoành.
Nếu hệ số a chứa tham số m thì cần lưu ý gì?
Phải xét riêng trường hợp a = 0 (hàm trở thành bậc nhất hoặc hằng) rồi mới xét a ≠ 0 với điều kiện a < 0 và Δ ≤ 0.